В романе «Тринадцать часов» Тербер приводит определение логики, суть которого сводится примерно к следующему. Поскольку можно прикоснуться к часам, не останавливая их, то можно пустить часы, не прикасаясь к ним. Это — логика, какой я ее вижу и понимаю.

200.

Определение логики по Терберу несколько напоминает мой излюбленный силлогизм: некоторые автомашины дребезжат на ходу. Моя автомашина — это некоторая автомашина. Не удивительно, что моя автомашина дребезжит!

201. Еще одно определение логики.

Мой приятель, отставной полицейский офицер, узнав, что я логик, сказал мне однажды: «Знаешь, что я понимаю под логикой? Однажды мы с женой были в гостях. Хозяйка предложила нам отведать пирога. На подносе лежало всего два куска пирога, один побольше, другой поменьше. Немного подумав, я решил взять себе тот, что побольше. Рассуждал я при этом так. Я знаю, что моя жена любит пироги и что она знает, что я люблю пироги. Я также знаю, что она любит меня и хочет, чтобы я был счастлив. Следовательно, ей хочется, чтобы я взял себе тот кусок пирога, который побольше. Так я и сделал».

202.

Рассказ моего приятеля напомнил мне историю о двух посетителях ресторана, заказавших рыбу. Официант принес блюдо с двумя рыбами: одной побольше, другой поменьше. Один из посетителей сказал другому: «Прошу вас. Выбирайте любую, какая вам больше правится». Сотрапезник поблагодарил за любезность и положил себе на тарелку ту рыбу, которая была побольше. После напряженного молчания первый посетитель заметил: «Если бы вы предоставили мне право первого выбора, то я взял бы себе ту рыбу, которая поменьше!» «На что вы, собственно, жалуетесь? — осведомился у него другой посетитель. — Ведь вы получили именно то, что хотели!»

203.

История о двух посетителях ресторана напомнила мне еще одну историю о даме на званом обеде. Когда подали спаржу, эта дама, взяв себе с серебряного блюда все головки, передала остальное соседу. Сосед спросил: «Что вы делаете? Почему вы взяли себе все головки, а остальное отдали мне?» «Как, разве вы не знаете? — невозмутимо ответила дама. — Головки в спарже — самое вкусное».

204.

Однажды в какой-то газете мне попалась на глаза карикатура. Мальчик и девочка идут по тротуару. Мальчик идет дальше от проезжей части, чем девочка. Мимо них проезжает грузовик и обдает девочку грязью с головы до ног. Мальчик говорит своей спутнице: «Теперь ты понимаешь, почему я не хожу со стороны проезжей части как джентльмен?»

205.

Мне нравится следующее определение этики. Мальчик спрашивает отца: «Папа, что такое этика?» Отец отвечает: «Сейчас объясню тебе на примере, сынок. Как-то раз в мой магазин зашла одна дама. Оплачивая покупку, она дала мне двадцатидолларовую купюру, думая, что дает мне десять долларов. Я также подумал, что она уплатила десять долларов, и дал ей сдачу как с десяти долларов. Лишь через несколько часов я обнаружил, что дама в действительности уплатила двадцать долларов. Сообщу ли я или не сообщу об этом моему партнеру? Это и есть этика, мой мальчик».

206.

Однажды я вместе с приятелем, математиком по профессии, зашел в небольшой ресторанчик пообедать. После перечня блюд в меню стояло: «За все особо заказанное нужно особо платить». Мой приятель заметил по этому поводу: «Слово 'особо', да еще дважды повторенное, здесь явно ни к чему».

207.

На рекламе одного ресторана красовалась броская надпись:

Все вкусное не дешево.

Все дешевое не вкусно.

Означают ли эти два предложения одно и то же, или их содержание различно?

С точки зрения логики оба предложения означают одно и то же. Они эквивалентны утверждению «нет ничего, что было бы вкусно и дешево». И все же, хотя эти предложения логически эквивалентны, их психологический подтекст различен. При чтении первого предложения в моем воображении возникает мысль о вкусном блюде, за которое стоит заплатить дорого. При чтении второго рождается мысль о недоброкачественно дешевом блюде. Не думаю, чтобы моя реакция была нетипичной.

Б. Кто вы: физик или математик?

208.

Должно быть, многим известна задача о двух сосудах, в одном из которых содержится 10 мл воды, а в другом — 10 мл вина. Из сосуда с водой в сосуд с вином отливают 3 мл воды и после тщательного перемешивания 3 мл смеси переливают обратно в сосуд с водой. Спрашивается, чего больше: воды в сосуде с вином или вина в сосуде с водой?

Решать эту задачу можно двумя способами: «арифметически» (подсчитать количество воды, внесенной при переливаниях в сосуд с вином, и вина, оказавшегося в сосуде с водой) и «физическим», основанным на здравом смысле. Я отдаю предпочтение физическому решению. При арифметическом подходе задача решается следующим образом. После того как в сосуд с вином влили 3 мл воды, в нем оказалось 13 мл смеси: 3/13 составляет вода и 10/13 вино. После переливания в сосуд с водой 3 мл смеси в нем оказалось 3?10/13 = 30/13 мл вина. До второго переливания в сосуде с вином находилось 3 мл воды, из них 3?3/13 мл было перелито в сосуд с водой. Следовательно, после двух переливаний в сосуде с вином осталось 3–9/13 мл воды. Но 3–9/13 = 39/13 — 9/13 = 30/13. Таким образом, воды в сосуде с вином оказалось ровно столько же (а именно 30/13 мл), сколько вина в сосуде с водой.

Физическое решение приводит к ответу несравненно быстрее и, кроме того, подсказывает некую общую идею: поскольку количество жидкости в каждом сосуде после двух переливаний одинаково, то убыль воды в сосуде с водой восполнена вином, а убыль вина в сосуде с вином восполнена водой. Тем самым задача решена. Разумеется, здравый смысл не позволяет нам оценить величину убыли жидкости в каждом сосуде, в то время как арифметическое решение позволяет указать ее точный объем: 30/13 мл. Зато физическое решение применимо к следующей более общей задаче (перед которой арифметический подход оказывается бессильным).

Возьмем те же два сосуда с водой и с вином, что и в предыдущей задаче, и начнем переливать жидкость из одного сосуда в другой, не измеряя каждый раз, какой объем мы переливаем, и не подсчитывая, сколько раз мы производим переливание. Количество переливаемой жидкости может изменяться от одного переливания к другому, лишь бы по окончании всех операций в каждом сосуде снова оказалось по 10 мл жидкости. Спрашивается, чего больше: воды в сосуде с вином или вина в сосуде с водой?

Те же соображения, которые привели нас к физическому решению, позволяют утверждать, что посла всех переливаний воды в сосуде с вином окажется столько же, сколько вина в сосуде с водой, но их недостаточно, чтобы узнать, сколько именно жидкости перешло из одного сосуда в другой.

209.

В связи с предыдущей задачей у меня возник следующий вопрос. Представим себе, что первоначально в сосуд A налито 10 мл воды, а в сосуд B — 10 мл вина, и мы переливаем жидкость из одного сосуда в другой и обратно по 3 мл любое конечное число раз. Сколько переливаний требуется произвести, чтобы процентное содержание вина в обоих сосудах стало одинаковым?

Я имел в виду следующий ответ: за любое конечное число переливаний невозможно добиться равенства концентраций вина в обоих сосудах. Независимо от того, сколько вина в одном сосуде, сколько воды в другом и сколько жидкости переливается каждый раз из сосуда в сосуд и обратно (если только один сосуд при переливании не опоражнивается полностью), концентрация вина в сосуде B всегда останется выше, чем в сосуде A. Убедиться в этом можно при помощи простого рассуждения, использующего математическую индукцию. Первоначально концентрация вина в сосуде B, несомненно, выше, чем в сосуде A. Предположим, что после какого-то числа переливаний концентрация вина в сосуде B остается по-прежнему выше, чем в сосуде A. Переливая затем какое-то количество жидкости из сосуда B в сосуд A, мы будем переливать более крепкий раствор в более слабый. Следовательно, и после очередного переливания концентрация вина в сосуде B останется выше, чем в сосуде A. Если мы перельем какое-то количество жидкости из сосуда A в сосуд B, то концентрация вина в B также останется выше, чем в A. Так как любое переливание сводится к одному из этих двух случаев, то мы заключаем, что концентрация вина в сосуде B всегда больше, чем в сосуде A. Единственный способ выравнять концентрации — перелить целиком содержимое одного сосуда в другой.

Если эту задачу рассматривать как чисто математическую, то мои рассуждения безупречны. Но если рассматривать ее как физическую задачу, то в моем рассуждении обнаруживаются уязвимые места. Оно исходит из представления о безграничной делимости жидкости, в то время как реальные жидкости состоят из дискретных молекул. На это обстоятельство один из читателей обратил внимание Мартина Гарднера[6]. Он подсчитал, что после 47 переливаний «туда и обратно» концентрация вина в обоих сосудах с высокой вероятностью окажется равной.

Интересно, останется ли в силе предложенное этим читателем решение, если число молекул в сосуде вина будет нечетным? Проживи я на свете миллион лет, мне никогда не пришло бы в голову, что эта задача не математическая, а физическая.

210. Какой брусок намагничен?

Мартин Гарднер предложил следующую задачу[7]. Представьте себе, что вы заперты в комнате, где (так же как и на вас самих) нет ничего металлического, кроме двух совершенно одинаковых с виду железных брусков. Один из брусков намагничен. Установить, какой именно, можно, подвесив каждый из брусков на нити, обвязанной вокруг середины бруска: намагниченный брусок будет вести себя как стрелка компаса, то есть указывать на север. Нельзя ли установить, какой из брусков намагничен, более простым способом?

Приведенное в книге Гарднера решение состояло в том, чтобы дотронуться концом одного бруска до середины другого. Если вы почувствуете притяжение, то брусок, которым вы дотрагивались, намагничен. Если притяжения не возникает, то в руках у вас находится ненамагниченный брусок.

Это «физическое» решение вполне разумно. Осуществить его «экспериментально» проще, чем подвешивать оба бруска на нитях. Будучи все-таки логиком, а не физиком, я придумал еще одно решение, занимающее по своей простоте промежуточное положение между «физическим» и «лобовым». Я предлагаю взять один брусок, обвязать его нитью посредине и, подвесив на нити, посмотреть, будет ли он указывать на север.

211. Кто вы: физик или математик?

Как вы мыслите: физически или математически? Следующий великолепный тест позволит безошибочно определить, физик вы или математик.

Вы находитесь в летней кухне. В вашем распоряжении нерастопленная плита, коробок спичек, кран с холодной водой и пустая кастрюля. Требуется нагреть кастрюлю воды. Что бы вы стали делать? Должно быть, на этот вопрос вы ответили бы так: «Я налил бы в кастрюлю холодной воды из крана, зажег плиту, поставил кастрюлю на огонь и подождал бы, пока вода в кастрюле не нагреется». Прекрасно! На этом этапе между математиками и физиками царит полное согласие. Различие в подходе обнаруживается при попытке решить следующую задачу.

Вы снова находитесь в летней кухне. В вашем распоряжении нерастопленная плита, коробок спичек, кран с холодной водой и кастрюля, в которую налита холодная вода. Требуется нагреть кастрюлю воды. Что бы вы стали делать? Большинство людей отвечают: «Зажег бы плиту и поставил кастрюлю с водой на огонь». Если вы думаете так же, то вы физик! Математик бы вылил воду из кастрюли и тем самым свел бы новую задачу к предыдущей, которая решена.

Мы могли бы продвинуться еще на один шаг и рассмотреть случай, когда кастрюля с холодной водой уже поставлена на огонь. Как получить горячую воду в этом случае? Физик просто подождал бы, пока вода не нагреется, а математик погасил бы огонь, вылил воду из кастрюли и тем самым свел бы нашу новую задачу к первой (или ограничился бы тем, что погасил огонь, сведя задачу ко второй, уже решенной).

Еще более наглядно различие между физиком и математиком проявляется в следующем («драматическом») варианте задачи. Представьте себе, что в доме, где вы находитесь, начался пожар. В вашем распоряжении пожарный кран и шланг (не присоединенный ни к чему). Как потушить пожар? Ясно, что прежде всего необходимо присоединить шланг к крану, а затем пустить струю воды в пламя. Предположим теперь, что в вашем распоряжении пожарный кран, шланг (не присоединенный ни к чему) и никакого пожара в доме нет. Как бы вы стали тушить пожар?. Математик сначала поджег бы дом, чтобы свести задачу к предыдущей.

212. Фон Нейман и задача о мухе.

Эту задачу можно решить двумя способами: «трудным» и «легким».

Два поезда, находившиеся на расстоянии 200 км друг от друга, сближаются по одной колее, причем каждый развивает скорость 50 км/ч. С ветрового стекла одного локомотива в начальный момент движения взлетает муха и принимается летать со скоростью 75 км/ч вперед и назад между поездами, пока те, столкнувшись, не раздавят ее. Какое расстояние успевает пролететь муха до столкновения?

С каждым из поездов муха успевает повстречаться бесконечно много раз. Чтобы найти расстояние, которое муха преодолела в полете, можно просуммировать бесконечный ряд расстояний (эти расстояния убывают достаточно быстро, и ряд сходится). Это — «трудное» решение. Чтобы получить его, вам понадобятся карандаш и бумага. «Легкое» решение состоит в следующем. Поскольку в начальный момент расстояние между поездами равно 200 км, а каждый поезд развивает скорость 50 км/ч, то от начала движения до столкновения проходит 2 ч. Все эти 2 ч муха находится в полете. Поскольку она развивает скорость 75 км/ч, то до того момента, как столкнувшиеся локомотивы раздавят ее, муха успеет пролететь 150 км. Вот и все!

Один из выдающихся математиков современности, Джон фон Нейман, когда ему задали эту задачу, задумался лишь на миг и сказал: «Ну, конечно, 150 км!» Приятель спросил его: «Как вам удалось так быстро получить ответ?» «Я просуммировал ряд», — ответил математик.

213.

О фон Неймане рассказывают следующую забавную историю.

Некогда он консультировал специалистов, строивших ракету-носитель для космического корабля. Увидев остов ракеты, фон Нейман спросил у сопровождавших его сотрудников: «Кто сконструировал ракету?» «Наши инженеры», — ответили ему. «Инженеры! — презрительно повторил фон Нейман. — Я разработал полную математическую теорию ракет. Возьмите мою работу 1952 г. и вы найдете там все, что вас интересует». Специалисты раздобыли работу, о которой говорил фон Нейман, сдали на слом разработанную ими конструкцию ракеты (на которую к тому времени было израсходовано 10 млн долларов) и построили новую ракету, неукоснительно следуя рекомендациям фон Неймана. Но их постигла неудача: при нажатии на кнопку «Пуск» раздался оглушительный взрыв, и ракета разлетелась на мелкие кусочки. В гневе ракетчики позвали фон Неймана и спросили: «Мы выполнили все ваши рекомендации, а ракета все- таки взорвалась при запуске. Почему?» Фон Нейман ответил: «То, о чем вы говорите, относится к так называемой теории сильного взрыва. Я рассмотрел ее в своей работе 1954 г. В ней вы найдете все, что вас интересует».

214.

Рассказывают, будто в Принстоне жила девочка, которой никак не давалась арифметика. И вдруг за какие-нибудь два месяца она стала великолепно успевать по этому предмету. Мать спросила у нее, в чем причина неожиданных успехов. Девочка ответила: «Как-то раз я услышала, что в нашем городе есть профессор, который хорошо разбирается в арифметике. Я узнала, где он живет, пришла к нему, и с тех пор он каждый день помогает мне готовить уроки. Объясняет он все очень понятно». Мать несколько озадаченно спросила, не знает ли дочь, как фамилия профессора. Девочка ответила: «Точно не скажу, не помню. Кажется, Эйнштейн или как-то очень похоже».

215.

В разговоре с одним из своих коллег Эйнштейн заметил однажды, что не хотел бы преподавать в колледже с совместным обучением юношей и девушек. По его мнению, юноши смотрели бы на красивых сокурсниц и не уделяли бы должного внимания математике и физике. Знакомый Эйнштейна возразил: «Вас бы юноши слушали, боясь проронить слово». Эйнштейн ответил: «Такие юноши не стоят того, чтобы им преподавать».

216.

Следующий анекдот отчетливо показывает различие между физиком и математиком.

Физик и математик летят на одном самолете из Калифорнии в Вашингтон. Каждого из них попросили по прибытии в Вашингтон представить отчет обо всем увиденном в пути. Пролетая над Канзасом, оба увидели далеко внизу черную овцу. Физик записал в блокноте: «В Канзасе водится черная овца». Математик также сделал соответствующую запись в своем блокноте: «Где-то на Среднем Западе водится овца, черная сверху».

В. Истории о вермонтцах

217.

Предыдущая история напомнила мне один случай, происшедший с американским президентом Кальвином Кулиджем. Вместе с группой друзей Кулидж однажды посетил животноводческую ферму. Когда они подошли к стаду овец, один из друзей президента заметил: «Я вижу, что овец недавно остригли». «По крайней мере с этой стороны они выглядят так, как будто их остригли,» — отозвался Кулидж.

218.

Когда юморист Уилл Роджерс собрался на прием к президенту Кулиджу, его предупредили, что президента невозможно рассмешить. Роджерс спокойно ответил: «Ничего, я все-таки попробую». И ему действительно удалось рассмешить Кулиджа. Когда Роджерса подвели к президенту и представлявший произнес: «Мистер Роджерс, позвольте представить вас президенту Кулиджу», Уилл Роджерс повернулся к президенту и с любезной улыбкой сказал: «Простите, я не расслышал вашей фамилии. С кем имею честь?»

219.

Кальвин Кулидж был типичным вермонтцем, а я лоблю истории о вермонтцах. Вот одна из них. Человек проходит мимо дома вермонтского фермера. Хозяин сидит на крыльце в кресле-качалке и невозмутимо покачивается. Прохожий замечает: «Так и качаетесь всю жизнь?» На что хозяин дома отвечает: «Пока еще не всю».

220.

Вермонтцам (по крайней мере таким, какими мы знаем их по бесчисленным юмористическим историям) присуща одна характерная черта: если вермонтца спросить о чем-нибудь, он даст точный ответ, но нередко умолчит об информации, которая может относиться к делу и быть весьма существенной. Великолепной иллюстрацией этой особенности может служить анекдот об одном вермонтском фермере, который отправился на соседнюю ферму, чтобы спросить у ее владельца: «Лем, что ты давал своей лошади в прошлом году, когда у нее были колики?» Лем ответил: «Отруби с черной патокой». Фермер вернулся домой. Через неделю он снова пришел к соседу и сообщил: «Лем, я дал своей лошади отрубей с черной патокой, и она сдохла». Лем ответил: «Моя тоже».

221.

Из историй о вермонтцах мне особенно нравится рассказ о туристе, путешествовавшем по Вермонту. Однажды он оказался на развилке. У обочины одной дороги стоял указатель «К устью реки Белой». У обочины другой дороги тоже стоял указатель «К устью реки Белой». Турист задумчиво почесал в затылке и спросил у стоявшего неподалеку вермонтца: «Если обе дороги ведут к устью реки Белой, то не все ли равно, по какой дороге мне идти?» «Мне все равно», — ответил вермонтец.

Г. Так ли очевидно?

222.

Эту историю рассказывают о многих математиках. Некий профессор во время лекции, сформулировав теорему, сказал: «Доказательство очевидно». Студент поднял руку и спросил: «А почему оно очевидно?» Профессор немного подумал, потом вышел из аудитории и, вернувшись минут через двадцать, заявил: «Да, все верно, теорема очевидна», — после чего как ни в чем не бывало продолжил лекцию.

223.

В другой истории речь идет о профессоре, встретившем в коридоре студента. Студент спросил: «Профессор! Я не понял доказательство теоремы 2, которое вы привели на лекции. Не могли бы вы объяснить мне его еще раз?» Профессор оцепенел на несколько минут, а очнувшись, сказал: «…что и требовалось доказать». Студент переспросил: «Так как же все-таки доказать теорему?» Профессор снова впал в транс и, снова вернувшись на землю, сказал: «…что и требовалось доказать». «Да, но вы так и не сказали мне, как доказывается теорема». «Хорошо, я приведу вам другое доказательство», — пообещал профессор. Он снова оцепенел и, придя в себя, снова сообщил: «…что и требовалось доказать». Несчастный студент впал в отчаяние. «Послушайте, — заметил профессор, — я привел вам три доказательства теоремы, и ни одно из них вы не поняли. Боюсь, что больше я ничем не смогу вам помочь». С этими словами профессор удалился.

224.

Рассказывают, что один известный физик выступал с лекцией перед группой коллег. Закончив свое выступление, он сказал: «А теперь я отвечу на любые вопросы». Один из слушателей поднял руку и обратился к докладчику: «Я не понял, как вы доказали теорему B». Физик ответил: «Это не вопрос».

225.

В бытность мою аспирантом в Принстонском университете я вместе с товарищами составил довольно любопытный перечень толкований слова «очевидно» различными профессорами математического факультета. Не стану сейчас приводить полностью фамилии профессоров, ограничусь лишь первыми буквами.

Когда профессор A. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что, отправившись домой и поразмыслив в течение нескольких недель, вы поймете, почему оно правильно.

Когда профессор Л. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что, отправившись домой и посвятив размышлениям над смыслом. сказанного весь остаток своих дней, вы, может быть, когда-нибудь поймете, почему оно правильно.

Когда профессор Ч. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что уже две недели, как оно известно аудитории.

Когда профессор Ф. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что оно скорее всего неверно.

Д. Истории о рассеянных профессорах

226.

Однажды студент повстречал в коридоре профессора, и, поздоровавшись, спросил: «Вы уже позавтракали?» Профессор на миг задумался, а потом сказал: «Если вы скажете, в каком направлении я шел, когда мы встретились, то я смогу ответить на ваш вопрос».

227.

Следующую историю мне рассказали о математике Давиде Гильберте. Некогда я передал ее одному физику, тот сообщил, что слышал то же самое об Ампере!

Я буду придерживаться той версии, которую рассказали мне. Однажды Гильберт и его супруга устроили званый вечер. После прихода одного из гостей мадам Гильберт отвела мужа в сторону и сказала ему: «Давид, пойди и смени галстук». Гильберт ушел. Прошел час, а он все не появлялся. Встревоженная хозяйка дома отправилась на поиски супруга и, заглянув в спальню, обнаружила Гильберта в постели. Тот крепко спал. Проснувшись, он вспомнил, что сняв галстук, автоматически стал раздеваться дальше и, надев пижаму, лег в кровать.

228.

Из всех историй о рассеянных профессорах мне больше всего нравится история, которую рассказывают о Норберте Винере. Не знаю, насколько она правдива (хотя и вполне правдоподобна, так как в последние годы жизни Винер почти полностью потерял зрение); но, как бы там ни было, рассказывают следующее.

Однажды чета Винеров должна была переехать из одного района Кембриджа в другой. Миссис Винер, зная о рассеянности своего мужа, решила приучить его заранее к мысли о переезде. За тридцать дней до переезда она сказала мужу, когда тот собирался утром на лекцию: «Норберт, через тридцать дней мы переедем отсюда, и домой ты будешь возвращаться тогда на автобусе Б, а не A, как сейчас». На следующее утро миссис Винер сказала: «Норберт, через двадцать девять дней мы переедем отсюда, и домой ты будешь возвращаться на автобусе Б, а не A, как сейчас». Винер послушно ответил: «Хорошо, дорогая». Так продолжалось вплоть до самого дня отъезда. Утром в день отъезда миссис Винер сказала: «Норберт, сегодня мы переезжаем отсюда, и домой ты будешь возвращаться на автобусе Б, а не A». Винер, как всегда, согласился: «Хорошо, дорогая». После лекции он, конечно, сел в автобус A и, доехав до своей бывшей квартиры, не обнаружил никого дома. «Ах, да! Ведь мы же сегодня переехали!» — вспомнил он, вернулся в Гарвард, сел в автобус Б и сошел на той остановке, поблизости от которой, как ему казалось, должна была находиться его новая квартира. К сожалению, Винер никак не мог вспомнить свой новый адрес. Пока он бродил по улицам, стемнело. Увидев в сумерках девочку, Винер подошел к ней и спросил: «Прошу прощения, не знаешь ли ты, где здесь живут Винеры?» Девочка ответила: «Ну, конечно, знаю, папочка. Пойдем, я провожу тебя домой!»

Е. Музыканты

229.

Композитор Роберт Шуман в начале одного из своих сочинений написал указание для исполнителей: «Быстро, как только возможно», а через несколько тактов — «Еще быстрее».

230.

Рассказывают, что Рихард Вагнер, прогуливаясь по улицам Берлина, встретил шарманщика, который, вертя ручку своей шарманки, исполнял увертюру к «Тангейзеру». Вагнер остановился и заметил: «Вы исполняете чуть быстрее, чем нужно». Шарманщик сразу узнал Вагнера и, сняв шляпу, раскланялся: «Благодарю вас, герр Вагнер! Спасибо за замечание!»

На следующий день Вагнер снова отправился на ту же улицу и нашел шарманщика на том же месте. На этот раз увертюра звучала в правильном темпе, а над головой шарманщика висел плакат: «Ученик Рихарда Вагнера».

231.

Рассказывают, что четыре музыканта из Бостонского филармонического оркестра вздумали однажды покататься на лодке. Один из них свалился за борт с криком: «Помогите! Я не умею плавать!» Его более ловкий коллега крикнул в ответ: «Тогда хотя бы сделай вид, что плаваешь!»

232. Брамс и любительский квартет.

Рассказывают, что у композитора Иоганнеса Брамса было четверо друзей, которые любили исполнять квартеты. Музыканты они были более чем посредственные, но люди очень милые, и Брамсу доставляло удовольствие общение с ними. Однажды они решили устроить Брамсу сюрприз и полгода усердно разучивали его последний квартет. Как-то раз они собрались все вместе, и, когда пришел Брамс, исполнитель партии скрипки сказал: «Иоганнес, мы приготовили для вас сюрприз. Пройдите, пожалуйста, в соседнюю комнату». Брамс последовал за ними в соседнюю комнату, музыканты взяли инструменты и заиграли. Несчастный Брамс с трудом выдержал несколько тактов, потом поднялся и с вежливой, хотя и несколько вымученной улыбкой, быстро направился к выходу. Исполнитель партии первой скрипки бросился вслед за ним с вопросом: «Иоганнес, понравилось ли вам наше исполнение? Выдержали ли мы ваш темп?» Брамс ответил: «Темп все выдержали прекрасно. Особенно вы».

Ж. Электронно-вычислительные машины

233.

Эксперименты по машинному переводу проводились неоднократно. Обычно для этого брали какую-нибудь фразу (желательно идиому), и одна машина осуществляла перевод с русского на английский, а другая выполняла обратный перевод с английского на русский. Цель эксперимента заключалась в том, чтобы установить, насколько сильные искажения могут возникнуть в процессе перевода.

Однажды для прямого перевода была выбрана фраза: «Дух силен, а плоть слаба». Вторая машина неверно «поняла» английское слово spirit, в результате обратный перевод гласил: «Спирт крепок, а мясо протухло».

234.

В другой раз для контрольного перевода была выбрана фраза: «С глаз долой, из сердца вон». После двукратного перевода она превратилась в следующую: «Бессердечный слепец».

235.

Этот анекдот — о коммивояжере фирмы IBM, который пытался продать компьютер, «знавший все на свете». Коммивояжер, всячески расхвалив достоинства своей ЭВМ, предложил покупателю: «Убедитесь сами. Спросите машину о чем угодно». «Хорошо», — согласился покупатель и ввел в машину вопрос: «Где мой отец?» Машина после минутной паузы напечатала ответ: «Ваш отец сейчас удит рыбу в Канаде». Покупатель радостно захохотал: «Вот так всеведущая машина! Да она просто никуда не годится! Моего отца давно нет в живых». Коммивояжер не сдавался. «Вы сформулируйте свой вопрос поточнее, — попросил он покупателя. — Позвольте, я сделаю это за вас». И коммивояжер ввел в машину следующий вопрос: «Где муж матери человека, стоящего перед тобой?» После небольшой паузы машина напечатала ответ: «Муж матери этого человека скончался несколько лет назад, а отец этого человека сейчас удит рыбу в Канаде».

236.

Когда первый в мире самолет с полностью автоматизированным управлением поднялся в воздух, находившиеся на его борту пассажиры почувствовали себя не совсем уютно. Внезапно из репродуктора раздался успокаивающий голос ЭВМ, управлявшей полетом: «Леди и джентльмены! Вы находитесь на борту первого в мире полностью автоматизированного самолета. Его ведут не пилоты, которым, как и всем людям, свойственно ошибаться, а совершенные автоматы, не знающие, что такое ошибка. Они позаботятся о ваших удобствах и безопасности. Вам не о чем беспокоиться, беспокоиться, беспокоиться, беспокоиться…»

237. Вежливый компьютер.

Из всех историй об ЭВМ мне больше всего нравится история об одном компьютере, имевшем отношение к запуску космического корабля на Луну. В компьютер ввели два вопроса: 1) достигнет ли корабль Луны? 2) вернется ли корабль на Землю? — и после небольшой паузы получили ответ: «Да». Однако понять, что, собственно, означает это «да» (следует ли его считать ответом на первый вопрос, на второй вопрос или на конъюнкцию первого и второго вопросов), было невозможно. Поэтому в компьютер ввели третий вопрос: «Что да?» Компьютер, помедлив, ответил вежливо: «Да, сэр».

XIV. Как доказать что угодно

Существует, как мне кажется, довольно точное определение пьяного математика: пьяным называется математик, утверждающий, будто он может доказать что угодно!
В платоновском диалоге «Евтидем» Сократ, расхваливая непостижимое умение братьев-софистов Евтидема и Дионисидора вести спор, говорит: «Столь велико их искусство, что они могут опровергнуть любое утверждение, будь оно истинно или ложно». Далее Сократ описывает в диалоге, как Дионисидор доказывает одному из собеседников по имени Ктессип, что отец Ктессипа — пес.
Дионисидор. Скажи, есть ли у тебя пес?
Ктессип. Да, и, должен признаться, препаршивый.
Дионисидор. А нет ли у него щенков?
Ктессип. Как не быть! И все они похожи на него.
Дионпсидор. И твой пес — их отец?
Ктессип. Да, я видел своими глазами, как он покрыл мать щенков.
Дионисидор. И этот пес твой?
Ктессип. Вне всякого сомнения.
Дионисидор. Итак, он отец и он твой. Следовательно, он твой отец, а щенки доводятся тебе братьями.
Вдохновленный примером великих софистов я докажу вам в этой главе много странного и удивительного.

А. Доказательства всякой всячины

238. Доказательство того, что либо Траляля, либо Труляля существует.

Из этого доказательства не следует, что Траляля и Труляля существуют оба. Я докажу лишь, что по крайней мере один из них существует. Кто именно из двух братцев существует, останется для нас неизвестным.

Представьте себе, что перед нами лист бумаги с тремя утверждениями:

1) Траляля не существует.

2) Труляля не существует.

3) По крайней мере одно из утверждений на этом листе ложно.

Рассмотрим утверждение (3). Если оно ложно, то не верно, что по крайней мере одно из трех утверждений ложно. Значит, все три утверждения истинны. В частности, истинно утверждение (3), и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, утверждение (3) не может быть ложно. Значит, оно должно быть истинно. Отсюда мы заключаем, что по крайней мере одно из трех утверждений в действительности ложно. Но утверждение (3) не может быть ложным. Следовательно, ложно либо утверждение (1), либо утверждение (2). Если ложно утверждение (1), то существует Траляля.

Если ложно утверждение (2), то существует Труляля.

Следовательно, либо Траляля, либо Труляля существует.

Однажды я выступал с лекцией о своих логических задачах-головоломках в студенческом математическом клубе. Собравшимся меня представил логик Мелвин Фиттинг (мой бывший студент, который хорошо знал меня). Его краткая речь великолепно отразила дух этой книги. Он сказал: «Я имею честь представить вам профессора Смаллиана, который докажет вам, что либо он не существует, либо вы не существуете, но кто именно не существует, вам не известно».

239. Доказательство того, что Трулюлю существует.

Представьте, что перед нами лист бумаги с двумя утверждениями:

1) Трулюлю существует.

2) Оба утверждения на этом листе ложны.

Рассмотрим сначала утверждение (1). Если бы оно было истинно, то оба утверждения были бы ложны. В частности, было бы ложно утверждение (2), и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, утверждение (2) ложно. Значит, не верно, что оба утверждения ложны, поэтому по крайней мере одно из них истинно. Так как утверждение (2) не истинно, то истинно должно быть утверждение (1). Следовательно, Трулюлю существует.

240. Существует ли Дед Мороз?

Должен сказать, что существование Деда Мороза многие подвергают сомнению. Несмотря на скептицизм, столь распространенный в наше время, я приведу три доказательства, не оставляющих ни малейшего сомнения в том, что Дед Мороз существует и должен существовать. Все три доказательства являются вариантами метода, заимствованного мною у Дж. Баркли Россера. Этот метод позволяет доказать что угодно.

Первое доказательство. Изложим это доказательство в форме диалога.

Первый логик. Если не ошибаюсь, Дед Мороз существует.

Второй логик. Разумеется, Дед Мороз существует, если вы не ошибаетесь.

Первый логик. Следовательно, мое утверждение истинно.

Второй логик. Разумеется!

Первый логик. Итак, я не ошибся, а вы согласились с тем, что если я не ошибаюсь, то Дед Мороз существует. Следовательно, Дед Мороз существует.

Второе доказательство. Приведенное выше доказательство представляет собой не что иное, как беллетризованный вариант следующего доказательства, предложенного Дж. Баркли Россером:

Если это утверждение истинно, то Дед Мороз существует.

В основе этого доказательства лежит уже знакомая нам идея. С ней мы встречались, когда доказывали, что если обитатель острова рыцарей и лжецов высказывает утверждение «если и рыцарь, то то-то и то-то», то он должен быть рыцарем, а «то-то и то-то» должно быть истинно.

Если наше утверждение истинно, то Дед Мороз заведомо существует (потому что если это утверждение истинно, то должно быть верно, что если это утверждение истинно, то Дед Мороз существует, из чего следует, что Дед Мороз существует). Следовательно, то, о чем говорится в утверждении, верно, поэтому утверждение истинно. Значит, утверждение истинно, а если оно истинно, то Дед Мороз существует. Следовательно, Дед Мороз существует.

Вопрос. Предположим, что обитатель острова рыцарей и лжецов заявляет: «Если я рыцарь, то Дед Мороз существует?» Доказывало бы это, что Дед Мороз существует?

Ответ. Несомненно, доказывало бы. Однако поскольку дед Мороз не существует, то ни лжец, ни рыцарь не могли бы высказать подобное утверждение.

Третье доказательство.

Это утверждение ложно, и Дед Мороз не существует.

Детали доказательства я предоставляю читателям.

Необходимые пояснения. Что в этих доказательствах «не так»? Ошибка в них та же, что и в рассуждениях претендента на руку Порции N-й: часть утверждений лишена смысла (об этом мы более подробно поговорим в гл. 15), и их нельзя считать ни истинными, ни ложными.

Следующее доказательство, к рассмотрению которого мы сейчас переходим, основано на совершенно ином принципе.

241. Доказательство того, что единорог существует.

Я хочу доказать вам, что единорог существует. Для этого, очевидно, достаточно доказать более сильное (как нам кажется) утверждение о том, что существует существующий единорог. (Под существующим единорогом я понимаю единорога, который существует.) Ясно, что если существует существующий единорог, то какой-нибудь единорог тем более должен существовать. Итак, я должен доказать, что существующий единорог существует. Возможны два и только два случая:

1) Существующий единорог существует.

2) Существующий единорог не существует.

Второй случай мы исключаем из рассмотрения как противоречивый: как может не существовать существующий единорог? Существующий единорог непременно должен существовать точно так же, как синий единорог должен быть синим.

Необходимые пояснения. B чем ошибка этого доказательства? Оно представляет собой не что иное, как самую суть знаменитого онтологического доказательства существования бога, предложенного Декартом. Декарт определил бога как существо, обладающее всеми мыслимыми свойствами. Значит, по определению, бог должен обладать свойством существовать. Следовательно, бог существует.

Иммануил Кант объявил доказательство Декарта недействительным на том основании, что существование не есть свойство. Я считаю, что в доказательстве Декарта имеется гораздо более серьезная ошибка. Не вдаваясь в обсуждение вопроса о том, можно ли считать существование свойством, я хочу лишь заметить, что даже если существование — свойство, то доказательство Декарта остается неверным.

Рассмотрим сначала мое доказательство (звучит гордо, не так ли?) существования единорога. Насколько я могу судить, ошибка в приведенных мною рассуждениях состоит в следующем. Когда я привожу определение существующего единорога («под существующим единорогом я, разумеется, понимаю единорога, который существует»), то имею в виду не какого-то вполне определенного существующего единорога, а некоторого существующего единорога, или, если угодно, существующего единорога вообще. Это подразумеваемое слово «некоторый» допускает двойственное толкование: иногда оно может означать «любой, каждый, всякий», иногда же означает «по крайней мере один». Например, если я высказываю утверждение «у совы большие глаза», то оно означает, что у сов большие глаза, что у всех сов большие глаза или что у каждой совы большие глаза. Но если я высказываю утверждение «в этом доме сова», то оно отнюдь не означает, что в этом доме собрались все совы. Я имею в виду лишь, что в этом доме находится по крайней мере одна сова. Именно поэтому, когда я говорю: «Существующий единорог существует», то не ясно, что именно имеется в виду: что все существующие единороги существуют или что по крайней мере один существующий единорог существует. Если я имею в виду первое, то высказанное мною утверждения истинно: все существующие единороги, разумеется, существуют. Как бы мог уже существующий единорог не существовать? Но это не означает, что высказанное мною утверждение истинно во втором смысле, то есть что по крайней мере один единорог непременно должен существовать.

Аналогичное замечание можно сделать и по поводу доказательства Декарта. Из него по сути дела следует, что все боги существуют, то есть всякий X, удовлетворяющий определению бога по Декарту, должен обладать свойством существования. Но это отнюдь не означает, что по крайней мере один бог непременно существует.

242. Доказательство Эйлера.

О поездке Дидро в Россию по приглашению Екатерины II рассказывают следующий анекдот. Дидро был атеистом и не скрывал своих убеждений. Императрица находила его высказывания забавными, но один из ее вельмож счел, что они могут вызвать нежелательное брожение умов, и посоветовал пресечь вольнодумные речи Дидро. Против энциклопедиста был составлен небольшой заговор, к участию в котором был приглашен знаменитый математик Эйлер, человек глубоко религиозный. Эйлер объявил, что ему удалось найти доказательство существования бога, которое он охотно изложит Дидро в присутствии всего императорского двора. Дидро согласился на диспут. Эйлер, пользуясь тем, что Дидро совершенно не знал математика, встал и, глядя на своего оппонента, замогильным голосом произнес: «A в квадрате минус B в квадрате равно A минус B, умноженному на A плюс B. Следовательно, бог существует. Вы согласны?» Раздался общий смех, и Дидро совершенно растерялся. Тут же он испросил у императрицы разрешение вернуться на родину и отбыл во Францию.

243.

Доказательство того, что вы либо непоследовательны, либо самонадеянны.

Это доказательство я придумал лет тридцать назад и рассказывал его многим студентам и коллегам-математикам. Несколько же лет назад кто-то сообщил мне, что видел то же доказательство в каком- то философском журнале, но не может вспомнить автора. Все же я хочу познакомить читателя с этим доказательством, кому бы оно ни принадлежало.

Человеческий мозг — машина конечная, поэтому вы можете верить в истинность лишь конечного числа утверждений. Обозначим их p1, p2…, pn, где n — число утверждений, в истинность которых вы верите. Итак, вы верите в то, что каждое из утверждений p1, p2…, pn истинно. Если вы не слишком самонадеянны, то знаете, что не все, во что вы верите, истинно. Значит, если вы не самонадеянны, то знаете, что по крайней мере одно из утверждений p1, p2…, pn ложно. Вы же верите в истинность каждого утверждения. Следовательно, вы непоследовательны.

Примечание. Где ошибка в этих рассуждениях? Я считаю, что никакой ошибки здесь нет. По моему глубокому

убеждению, разумно скромный человек должен быть непоследовательным.

Б. Новые дурацкие штучки

244. Расселл и папа римский.

Один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Расселла, что из ложного утверждения следует любое утверждение. Он спросил: «Вы всерьез считаете, что из утверждения „два плюс два — пять“ следует, что вы папа римский?» Расселл ответил утвердительно. «И вы можете доказать это?» — продолжал сомневаться философ. «Конечно!» — последовал уверенный ответ, и Расселл тотчас же предложил такое доказательство.

1) Предположим, что 2 + 2 = 5.

2) Вычтем из обеих частей по 2: 2 = 3.

3) Переставим правую и левую части: 3 = 2.

4) Вычтем из обеих частей по 1: 2 = 1.

Папа римский и я — нас двое. Так как 2 = 1, то папа римский и я — одно лицо. Следовательно, я — папа римский.

245. Что лучше?

Что лучше: вечное блаженство или бутерброд с ветчиной? На первый взгляд кажется, что вечное блаженство лучше, но в действительности это не так! Судите сами. Что лучше вечного блаженства? Ничто. А бутербод с ветчиной лучше, чем ничего. Следовательно, бутерброд с ветчиной лучше, чем вечное блаженство.

246. Какие часы лучше?

Эту головоломку придумал Льюис Кэрролл. Какие часы лучше: те, которые вообще не идут, или те, которые отстают на одну минуту в сутки? По мнению Льюиса Кэрролла, часы, которые вообще не идут, лучше: они показывают точное время дважды в сутки, в то время как часы, которые отстают на одну минуту в сутки, показывают точное время лишь раз в два года. «Но что толку от того, что стоящие часы показывают точное время дважды в сутки, — возразите вы, — если нельзя сказать, когда это происходит?»

Почему нельзя? Представьте себе, что часы остановились ровно в восемь часов (утра или вечера — неважно). Разве не ясно, что в восемь часов утра и в восемь часов вечера они будут показывать точное время? «А как узнать, — спросите вы, — что наступило восемь часов?» Нет ничего проще! Не сводите глаз с часов, и в тот момент, когда они покажут точное время, наступит восемь часов (чего именно — утра или вечера — не так уж важно, так как отличить утро от вечера сумеет всякий).

247.

Доказательство того, что существует лошадь с тринадцатью ногами.

Это доказательство не оригинально, оно частично восходит к математическому фольклору.

Требуется доказать, что существует по крайней мере одна лошадь, у которой тринадцать ног. Выкрасим всех лошадей в мире либо в синий, либо в красный цвет по следующей схеме. Прежде чем красить лошадь, сосчитаем, сколько у нее ног. Если у лошади ровно тринадцать ног, то выкрасим ее в синий цвет. Если же у лошади число ног окажется либо меньше, либо больше тринадцати, то выкрасим ее в красный цвет. Предположим, что мы выкрасили всех лошадей в мире. У синих лошадей по тринадцати ног, у красных число ног отлично от тринадцати. Выберем наугад какую-нибудь лошадь. Если она окажется синего цвета, то наше утверждение доказано. Если же она будет красного цвета, то выберем наугад вторую лошадь. Предположим, что вторая лошадь окажется синего цвета. Тогда наше утверждение опять-таки доказано. А что если вторая лошадь красного цвета? Тогда это будет лошадь другого цвета, и мы приходим к противоречию: откуда взяться другому цвету, если каждую лошадь в мире мы выкрасили только в один цвет?

248.

История с тринадцатиногой лошадью напомнила мне одну головоломку, придуманную Авраамом Линкольном. Если собачью ногу считать хвостом, то сколько ног будет у собаки? Ответ самого Авраама Линкольна гласил: «Четыре. Чем бы и как вы ни пересчитывали ноги собаки, даже собачьим хвостом, их все равно четыре».

249.

Мой самый любимый метод доказательства.

Я хочу предложить вашему вниманию самую лучшую из известных мне «дурацких штучек» — абсолютно безотказный метод, позволяющий доказывать что угодно. Единственный недостаток метода состоит в том, что доступен он только фокусникам-престидижитаторам.

Продемонстрирую его вам на примере. Предположим, что мне необходимо доказать кому-то, будто я граф Дракула. Я говорю: «Из всей логики вам необходимо лишь знать, что если заданы любые два утверждения p, q и p истинно, то по крайней мере одно из двух утверждений p, q истинно». Против этого вряд ли кто-нибудь станет возражать.

«Прекрасно, — говорю я, доставая из кармана колоду карт, — как вы видите, эта карта красной масти». С этими словами я кладу карту красной масти вверх рубашкой на левую руку своей «жертвы» и прошу накрыть карту сверху правой рукой. «Пусть p — утверждение о том, что вы держите карту красной масти, а q — утверждение о том, что я граф Дракула, — продолжаю я. — Утверждение p истинно. Согласны ли вы с тем, что либо p, либо q истинно?» Моя «жертва» соглашается. «Но утверждение p, как вы можете убедиться собственными глазами, ложно. Откройте карту!» — приказываю я. «Жертва» послушно открывает карту: к его изумлению, у него в руке оказывается карта черной масти! «Следовательно, — завершаю я доказательство, — утверждение q истинно. Значит, я граф Дракула!»

В. Несколько логических курьезов

В двух предыдущих разделах мы рассмотрели несколько неверных рассуждений, которые на первый взгляд казались верными. Теперь нас ожидает нечто прямо противоположное: мы познакомимся с кое-какими принципами, которые на первый взгляд противоречат здравому смыслу, но тем не менее оказываются верными.

250.

Принцип пьяницы

Существует один принцип, играющий важную роль в современной логике. Некоторые из моих аспирантов дали ему выразительное название «принцип пьяницы». Связано оно, должно быть, с шуточной историей, которую я всегда рассказываю на своих лекциях перед тем, как приступить к его изложению.

Человек сидит у стойки в баре. Внезапно он ударяет кулаком по стойке и приказывает бармену: «Налей-ка мне и налей всем. Когда пью я, пьют все. Такой уж я человек!» Все выпивают, настроение у посетителей бара повышается. Через какое-то время человек, сидящий у стойки, снова ударяет кулаком по стойке и заплетающимся языком отдает бармену распоряжение: «Налей мне еще и налей всем еще по одной. Когда я пью еще одну, все пьют еще по одной! Такой уж я человек!» Все выпивают еще по одной, и настроение в баре повышается еще больше. Затем человек, сидящий у стойки, кладет на нее деньги и говорит: «А когда я плачу, платят все. Такой уж я человек!»

На этом анекдот о пьянице завершается. Проблема состоит в следующем: существует ли в действительности такой человек, что если он пьет, то пьют все? Ответ на этот вопрос удивит многих из вас.

Более драматический вариант возник в разговоре, который состоялся у меня с философом Джоном Бэконом. Существует ли на свете такая женщина, что если она утратит способность к деторождению, то все человечество будет обречено на вымирание?

Вариант проблемы, двойственный принципу пьяницы: существует ли по крайней мере один человек, такой, что если кто-нибудь пьет, то пьет и он?

Решение. Да, существует такой человек, что если он пьет, то пьют все. Это следует в конечном счете из странного принципа, согласно которому из ложного утверждения следует любое утверждение.

Взглянем на проблему со следующей точки зрения. Утверждение о том, что все пьют, либо истинно, либо ложно. Предположим, что оно истинно. Выберем кого-нибудь и назовем нашего избранника Джимом. Так как все пьют и Джим пьет, то верно, что если Джим пьет, то все пьют. Следовательно, существует по крайней мере один такой человек (а именно Джим), что если пьет он, то все пьют.

Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть не верно, что все пьют. Что тогда? B этом случае существует по крайней мере один человек (назовем его Джимом), который не пьет. Поскольку не верно, что Джим пьет, то верно, что если Джим пьет, то пьют все. Следовательно, и в этом случае существует такой человек (а именно Джим), что если он пьет, то пьют все.

Подведем итог. Назовем загадочной фигурой всякого, кто обладает странным свойством: если он пьет, то пьют все. Суть дела заключается в том, что если пьют все, то каждый может служить загадочной фигурой. Если же пьют не все, то загадочной фигурой может служить любой непьющий.

Перейдем теперь к более драматическому варианту принципа пьяницы. Все рассуждения по существу остаются прежними, и мы заключаем следующее. Существует по крайней мере одна такая женщина (а именно любая женщина, если все женщины становятся бесплодными, и любая женщина, которая не становится бесплодной, если не все женщины утрачивают способность к деторождению), что если она утратит способность к деторождению, то и все женщины утратят способность к деторождению.

Перейдем теперь к «двойственному» принципу, согласно которому существует такой человек, что если кто-нибудь вообще пьет, то он пьет. Иначе говоря, либо существует по крайней мере один человек, который пьет, либо не существует. Если ни одного пьющего не существует, то выберем любого и назовем его Джимом. Поскольку не верно, что кто-нибудь пьет, то верно, что если кто-нибудь пьет, то Джим пьет. С другой стороны, если существует кто-нибудь пьющий, то возьмем любого пьющего и назовем его Джимом. Тогда верно, что кто-нибудь пьет, и верно, что Джим пьет. Следовательно, верно, что если кто-нибудь пьет, то Джим пьет.

Эпилог

Когда я рассказал о принципе пьяницы своим студентам Линде Ветцель и Джозефу Беванер, они пришли в восторг. Вскоре после этого они прислали мне поздравительную открытку со следующим воображаемым диалогом (который вполне мог произойти в кафетерии после обеда).

Логик. Я знаю одного парня. Когда он пьет, пьют все.

Студент. Я вас не совсем понял. Что вы имеете в виду, когдаговорите, что пьют все? Все человечество?

Логик. Да, конечно.

Студент. Но это же немыслимо! Вы хотите сказать, что стоит ему пропустить стаканчик, как тотчас же все обитатели Земли до единого выпивают свою порцию?

Логик. Вы совершенно правы.

Студент. Но это означает, что в какой-то момент времени все обитатели Земли выпивали одновременно. Такого же просто никогда не было!

Логик. Вы не слишком внимательно слушали меня.

Студент. Я выслушал вас достаточно внимательно. Более того, я опроверг вашу логику.

Логик. Вы говорите чепуху. Логику нельзя опровергнуть.

Студент. Как же нельзя, когда я только что опроверг?

Логик. Не вы ли говорили мне, что вы не пьете?

Студент. Гм… Знаете, давайте лучше поговорим о чем-нибудь другом.

251.

Правильно ли рассуждение?

Мне много раз приходилось встречать рассуждения, которые кажутся вполне разумными, но все же содержат какую-нибудь ошибку. Недавно я узнал об одном рассуждении, которое на первый взгляд кажется неправильным (своего рода шуткой), но в действительности оказывается правильным.

Замечу, кстати, что правильным принято называть такое рассуждение, в котором заключение с необходимостью следует из посылок (посылки же не обязательно должны быть истинными). Вот это рассуждение[8].

1) Все боятся Дракулы.

2) Дракула боится только меня. Следовательно, я Дракула.

Не правда ли, звучит как глупая шутка? Но в действительности за шутливой маской скрывается серьезное лицо: рассуждение вполне правильно. В самом деле, так как все боятся Дракулы, то Дракула боится Дракулы, но в то же время Дракула не боится никого, кроме меня. Следовательно, я должен быть Дракулой!

Перед вами рассуждение, которое выглядит как шутка, но оказывается не шуточным, а серьезным. В этом и заключается соль этой шутки!

XV. От парадокса к истине

А. Парадоксы

252. Парадокс Протагора.

Один из самых древних парадоксов рассказывает об учителе греческого права Протагоре, взявшем в ученики бедного, но весьма способного юношу и согласившемся учить его бесплатно при условии, что когда тот закончит курс обучения и выиграет свой первый судебный процесс, то уплатит Протагору определенную сумму. Ученик принял условия Протагора, но, завершив свое образование, не стал выступать в суде. По прошествии некоторого времени Протагор подал на своего ученика в суд, требуя уплаты обещанной ему суммы. Вот какие показания дали Протагор и его ученик на суде.

Ученик. Если я выиграю этот процесс, то по определению я не должен буду платить Протагору ничего. Если же я проиграю этот процесс, то тем самым я не выиграю свой первый судебный процесс, а по уговору я должен платить Протагору лишь после того, как выиграю свой первый судебный процесс. Следовательно, выиграю я этот судебный процесс или проиграю, платить мне все равно не придется.

Протагор. Если мой бывший ученик проиграет этот судебный процесс, то по определению он должен будет уплатить мне соответствующую сумму (ведь именно ради уплаты причитающейся мне суммы я и возбудил процесс). Если же мой бывший ученик выиграет этот судебный процесс, то тем самым он выиграет свой первый судебный процесс и по уговору должен будет уплатить мне долг. Следовательно, выиграет он этот судебный процесс или проиграет, но платить ему придется все равно.

Кто прав: Протагор или его ученик?

Примечание. Не уверен, что знаю правильный ответ на вопрос задачи. Как и самая первая головоломка (о том, был ли я одурачен или не был), парадокс Протагора служит прототипом целой серии парадоксов. Лучшее из известных мне решений этого парадокса предложил один юрист, которому я изложил суть возникающей здесь проблемы. Он заявил следующее: «Суд должен вынести решение в пользу ученика, то есть ученик не должен будет платить Протагору, так как к моменту начала процесса ученик еще не выиграл свой первый судебный процесс. Когда же суд окончится, то ученик по уговору будет должен Протагору какую-то сумму денег. Поэтому Протагор должен вернуться в суд и возбудить против ученика второе дело. На этот раз суду придется вынести решение в пользу Протагора, так как к началу второго процесса ученик уже выиграет свой первый судебный процесс».

253. Парадокс лжеца.

Так называемый, «парадокс лжеца», или парадокс Эпименида, в действительности является родоначальником целого семейства парадоксов определенного типа, известных под названием парадоксов лжеца (звучит как тавтология, не так ли?). В своем первоначальном варианте парадокс повествует о некоем критянине по имени Эпименид, высказавшем утверждение «все критяне лжецы».

Никакого парадокса здесь еще нет. Во всяком случае, утверждение Эпименида парадоксально ничуть не больше, чем утверждение о том, что некий обитатель острова рыцарей и лжецов высказывает утверждение «все жители этого острова лжецы». Из такого утверждения следует, что, во-первых, говорящий лжец и что, во-вторых, на острове существует по крайней мере один рыцарь. Аналогично из первоначального варианта парадокса Эпименида мы заключаем лишь, что Эпименид лжец и что по крайней мере один критянин говорит

только правду. Никакого парадокса здесь, как вы видите, нет.

Вот если бы Эпименид был единственным критянином, то парадокс действительно возник бы. В этом случае единственный обитатель острова рыцарей и лжецов утверждал бы, что все жители острова лжецы (то есть в конечном счете утверждал бы, что сам он лжец, а это невозможно).

В улучшенном варианте парадокса лжеца говорится о человеке, высказывающем утверждение «я лгу». Лжет он или нет?

Следующий вариант улучшенного варианта мы будем называть в дальнейшем парадоксом лжеца. Рассмотрим утверждение:

Это утверждение ложно.

Истинно оно или ложно? Если оно ложно, то оно истинно. Если оно истинно, то оно ложно. Решение парадокса лжеца мы обсудим чуть позже.

254. Парадокс Журдэна.

Следующий вариант парадокса лжеца был впервые предложен в 1913 г. английским математиком П.Э.Б. Журдэном. Иногда его называют «парадокс Журдэна с карточкой». Представьте себе карточку, на одной стороне которой написано:

(1) Утверждение на другой стороне этой карточка истинно.

Перевернув карточку на другую сторону, вы увидите надпись:

(2) Утверждение на другой стороне этой карточки ложно.

Парадокс заключается в следующем. Если первое утверждение истинно, то второе утверждение истинно (так как в первом утверждении говорится, что второе утверждение истинно). Следовательно, первое утверждение ложно (так как во втором утверждении говорится, что первое утверждение ложно). Если же первое утверждение ложно, то второе утверждение ложно. Следовательно, первое утверждение не ложно, а истинно. Таким образом, первое утверждение истинно в том и только в том случае, если оно ложно, а это невозможно.

255. Еще один вариант.

В другом варианте парадокса лжецов на карточке написаны следующие три утверждения:

(1) Это утверждение содержит пять слов.

(2) Это утверждение содержит восемь слов.

(3) Ровно одно утверждение на этой карточке истинно.

Утверждение (1) заведомо истинно, а утверждение (2) заведомо ложно. Проблема возникает в связи с утверждением (3). Если утверждение (3) истинно, то на карточке — два истинных утверждения, а именно утверждение (3) и утверждение (1), вопреки тому, о чем говорится в утверждении (3). Следовательно, утверждение (3) должно быть ложно. С другой стороны, если утверждение (3) ложно, то утверждение (1) — единственное истинное утверждение на карточке, а это означает, что утверждение (3) должно быть истинным! Итак, утверждение (3) истинно в том и только в том случае, если оно ложно.

Примечание. Где ошибка в рассуждениях во всех этих парадоксах? Вопрос этот весьма тонкий и довольно спорный. Некоторые (главным образом философы, а не математики) считают совершенно недопустимым любое утверждение, содержащее ссылку на себя. Подсчитав число входящих в него слов, вы убедитесь, что оно истинно.

Утверждение «это утверждение содержит шесть слов» ложно, тем не менее смысл его ясен, и значение истинности устанавливается без труда: в нем говорится, что число входящих в него слов равно шести, тогда как их только пять. Никаких сомнений относительно смысла утверждений в обоих рассмотренных нами примерах не возникает. Рассмотрим теперь следующее утверждение:

Это утверждение истинно.

Оно не приводит ни к каким парадоксам. Никаких противоречий не возникает независимо от того, предположим ли мы, что оно истинно, или будем считать его ложным. Тем не менее это утверждение не имеет смысла по следующим причинам.

Всякий раз, когда возникает необходимость установить, что означает истинность какого-нибудь утверждения, мы начинаем с выяснения того, что означает само утверждение. Например, пусть X — утверждение «дважды два — четыре». Прежде чем я смогу понять, что означает истинность утверждения X, мне необходимо выяснить, что означает каждое из входящих в X слов и в чем заключается смысл самого утверждения X. В данном случае я знаю, что означает каждое слово, входящее в X, и мне ясен смысл утверждения X: в нем говорится, что дважды два равно четырем. Поскольку мне известно, что дважды два действительно равно четырем, то я знаю, что X должно быть истинно. Но я не мог бы знать, что X истинно, если бы не знал, что дважды два — четыре. Более того, я бы не мог знать, что означает истинность утверждения X, если бы не знал, что означает утверждение «дважды два — четыре». Приведенный мною пример отчетливо показывает, что истинность утверждения «X истинно» зависит от того, что означает утверждение X. Если же X устроено так, что его значение зависит от истинности утверждения «X истинно», то мы оказываемся в ловушке, ибо ходим по кругу.

Именно так и устроено внешне безобидное утверждение «это утверждение истинно». Прежде чем я смогу понять, что означает истинность этого утверждения, мне необходимо понять, что означает само утверждение. О чем в нем говорится? B нем сообщается лишь, что оно истинно, а я еще не знаю, что означает для данного утверждения быть истинным. Я не могу узнать, что означает истинность данного утверждения (не говоря уже о том, что мне не известно, истинно оно или ложно), пока не узнаю, что оно означает а узнать, что оно означает, я не могу до тех пор, пока не узнаю, что означает его истинность. Таким образом, наше утверждение не содержит никакой информации. Такие утверждения принято называть не вполне обоснованными.

Парадокс лжеца (и все его варианты) основан на использовании необоснованных утверждений. (Необоснованными я называю для краткости не вполне обоснованные утверждения.) B задаче 253 («Парадокс лжеца») не обосновано утверждение «это утверждение ложно». В задаче 254 («Парадокс Журдэна») не обоснованы утверждения на обеих сторонах карточки. В задаче 255 («Еще один вариант») два утверждения вполне обоснованы, а третье не обосновано.

Заметим, кстати, что теперь мы можем сказать гораздо больше относительно того, в каком месте допустил ошибку в своих рассуждениях претендент на руку Порции N-й (см. гл. 5 о шкатулках Порции). Все ее предки по материнской линии использовали только вполне обоснованные утверждения, а Порция N-я, желая подшутить над своим пылким поклонником, искусно использовала необоснованные утверждения. Та же ошибка встречается и в ряде доказательствах, приведенных в начале предыдущей главы.

256. Что вы скажете?

Вернемся к нашим добрым старым друзьям Беллини и Челлини из истории о шкатулках Порции. Эти два замечательных мастера не только изготовляли шкатулки, но и гравировали на их крышках различные надписи. Челлини на своих шкатулках гравировал ложные утверждения, а Беллини украшал крышки шкатулок своей работы истинными утверждениями. Предположим, что, кроме Беллини и Челлини, в те далекие времена никто не гравировал надписей на крышках шкатулок (их сыновья занимались изготовлением шкатулок, но не умели гравировать).

Вам встретилась шкатулка, на крышке которой выгравировано:

Эту надпись выгравировал Челлини

Чей это автограф? Если бы надпись оставил Челлини, то это означало бы, что он выгравировал истинное утверждение, и мы пришли бы к противоречию. Если бы надпись оставил Беллини, то это означало бы, что он выгравировал ложное утверждение, и мы опять пришли бы к противоречию. Кто же оставил надпись?

Вы не можете ответить на вопрос, сославшись на то, что утверждение «эту надпись выгравировал Челлини» не обосновано. Оно вполне обосновано. Оно сообщает нам некий исторический факт, а именно что эта надпись была выгравирована Челлини. Если надпись действительно была сделана рукой Челлини, то она истинна. Если ее сделал другой мастер, то она ложна. В чем здесь дело?

Трудность возникла из-за того, что я снабдил вас противоречивой информацией. Если бы вам действительно попалась в руки шкатулка с надписью «Эту надпись выгравировал Челлини» на крышке, то это означало бы, что либо Челлини в стародавние времена иногда гравировал не только ложные, но и истинные утверждения (вопреки тому, что я вам о нем говорил), либо по крайней мере, что некогда существовал какой-то другой мастер, гравировавший иногда на крышках шкатулок ложные утверждения (опять-таки вопреки тем сведениям, которые вы получили от меня). Следовательно, перед нами не подлинный парадокс, а своего рода жульническая проделка.

Кстати, вам все еще не удалось выяснить, как называется эта книга?

257. Утопить или повесить?

Эта головоломка известна довольно широко. Некто совершил преступление, караемое смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным, преступника утопят. Если же оно будет ложным, преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

258. Парадокс цирюльника.

Приведу еще один хорошо известный парадокс. В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам, и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя? Если цирюльник бреет самого себя, то тем самым он нарушает правило, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правило, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

259. Что вы на это скажете?

Один из островов рыцарей и лжецов малонаселен: на нем живут только два туземца A и B. Они высказали следующие утверждения:

A: B — лжец.

B: A — рыцарь.

Кто такой A: рыцарь или лжец? A что можно сказать о B?

Решения задач 257, 258, 259.

257.

Преступник должен сказать: «Я буду повешен».

258.

Ничего: существование такого цирюльника логически невозможно.

259.

В ответ на вопросы задачи вам следует заявить, что автор опять лжет! Описанная мною ситуация невозможна. В действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс Журдэна в слегка «загримированном» виде (см. задачу 254).

Если бы A был рыцарем, то B в действительности был бы рыцарем. Следовательно, A в действительности не рыцарь. Если бы A был лжецом, то B в действительности был бы не лжецом, а рыцарем. Значит, его утверждение было бы истинным, и A был бы рыцарем. Следовательно, A не может быть ни рыцарем, ни лжецом, так как и в том и в другом случае мы приходим к противоречию.

Б. От парадокса к истине

Кто-то определил парадокс как истину, поставленную с ног на голову. Действительно, во многих парадоксах содержатся идеи, которые после незначительной модификации приводят к важным открытиям. Следующие три задачи могут служить убедительным подтверждением этого принципа.

260. Где подвох в этой истории?

Однажды инспектор Крэг посетил некую общину и побеседовал с одним из ее членов — социологом Макснурдом, который сообщил следующее:

— Члены общины организовали несколько клубов. Каждый член общины может состоять членом более одного клуба. Каждый клуб получает название в честь одного из членов общины. Никакие два клуба не названы в честь одного и того же члена общины, и имя каждого члена общины носит какой-то клуб. Член общины не обязательно должен быть членом клуба, носящего его имя. Всякого, кто состоит членом клуба, носящего его имя, мы называем номинабельным. Всякого, кто не состоит членом клуба, носящего его имя, мы называем неноминабельным. Самое удивительное в нашей общине — это то, что все неноминабельные ее члены входят в один клуб.[9]

Инспектор Крэг на миг задумался и внезапно понял, что Макснурд не очень силен в логике: в его истории концы не сходятся с концами. Почему?

Решение. B действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс цирюльника в новом обличье.

Предположим, что рассказанная Макснурдом история соответствовала бы истине. Клуб, объединяющий всех неноминабельных членов общины, назван в честь какого-то члена общины, например в честь Джека. Будем называть этот клуб для краткости просто клубом Джека. Сам Джек может быть либо номинабельиым, либо неноминабельным. И в том и в другом случае мы приходим к противоречию.

Предположим, что Джек номинабелен. Тогда Джек состоит в клубе Джека. Но состоять членами клуба Джека могут только неноминабельные члены общины, и мы приходим к противоречию. С другой стороны, если Джек неноминабелен, то он состоит членом клуба неноминабельных членов общины. Значит, Джек состоит членом клуба Джека, объединяющего всех неноминабельных членов общины. Но тогда Джек должен быть номинабельным членом общины. Следовательно, мы и в этом случае приходим к противоречию.

261. Нет ли в общине тайного агента?

Однажды инспектор Крэг посетил другую общину, где встретил своего старого друга социолога Макснаффа. Крэг знал Макснаффа со студенческой скамьи, (оба учились в Оксфорде) как человека, безукоризненно владеющего логикой. Макснафф рассказал Крэгу о своей общине следующее:

— Как и в других общинах, мы организовали у себя клубы. Имя каждого члена общины носит ровно один клуб, и каждый клуб назван в честь какого-нибудь члена общины. Каждый член нашей общины, вступая в клуб, может либо открыто заявить об этом, либо сохранить свое членство в тайне. Всякого, кто не заявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе, носящем его имя, мы называем подозрительным. Всякого, о ком известно, что он тайно состоит членом клуба, носящего его имя, мы называем тайным агентом. Наша община обладает одной прелюбопытнейшей особенностью: все подозрительные состоят членами одного клуба.[10]

Инспектор Крэг после секундного размышления понял, что в отличие от предыдущей истории отчет профессора Макснаффа не содержит ни малейшего противоречия. Более того, выяснилось одно интересное обстоятельство: чисто логическим путем оказалось возможным определить, нет ли в общине тайных агентов.

Итак, нет ли в общине тайных агентов?

Решение. Клуб всех подозрительных назван в честь кого-то из членов общины, например в честь Джона. Будем называть этот клуб в дальнейшем клубом Джона.

Сам Джон либо состоит членом клуба Джона, либо не состоит. Предположим, что он не состоит. Тогда Джон не может быть подозрительным (так как всякий подозрительный член общины состоит членом клуба Джона). Это означает, что Джон во всеуслышанье заявил о своем членстве в клубе Джона. Следовательно, если Джон не состоит членом клуба Джона, то Джон во всеуслышанье заявляет о своем членстве в клубе Джона, и мы приходим к противоречию. Значит, Джон должен состоять членом клуба Джона. А поскольку каждый член клуба Джона подозрителен, то Джон должен быть подозрительным. Значит, Джон не объявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе Джона и в то же время состоит членом клуба Джона. Следовательно, Джон тайный агент или, попросту говоря, шпик!

Заметим, что если воспользоваться решением задачи 260, то эту задачу можно решить проще. Действительно, если бы в общине не было тайных агентов, то подозрительные ничем бы не отличались от неноминабельных, поэтому множество подозрительных обладало бы всеми свойствами множества неноминабельных членов общины. Значит, все неноминабельные члены общины состояли бы членами одного клуба. Но в задаче 260 мы доказали, что все неноминабельные члены общины не могут состоять членами одного клуба. Следовательно, предположение о том, что в общине нет тайных агентов, приводит к противоречию. Значит, в общине непременно должен быть тайный агент (хотя мы и не знаем, кто он).

На этих двух доказательствах отчетливо видно различие между так называемым «конструктивным» и «неконструктивным» доказательством. Второе доказательство неконструктивно: мы приходим к заключению, что в общине не может не быть тайных агентов, но из доказательства не следует, кто эти тайные агенты. В отличие от него первое доказательство конструктивно: оно позволяет установить, кто тайный агент (член общины по имени Джон), в честь которого назван клуб подозрительных.

262. Задача о Вселенной.

В одной Вселенной члены каждого множества обитателей состоят в своем особом клубе. Регистратор этой Вселенной хотел бы присвоить каждому клубу имя одного из обитателей так, чтобы никакие два клуба не были названы в честь одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя был клуб; названный его именем.

Если бы число обитателей этой Вселенной было конечно, то регистратору не удалось бы осуществить свой грандиозный замысел, так как клубов было бы больше, чем обитателей Вселенной: например, если бы во всей Вселенной было бы только 5 обитателей, то числа клубов достигало бы 32 (один клуб был бы пустым множеством). Если бы во всей Вселенной было бы 6 обитателей, то число клубов достигало бы 64, а во Вселенной с n обитателями число клубов составляло бы 2^n. Но в той Вселенной, о которой мы сейчас говорим, число обитателей было бесконечно, поэтому регистратор надеялся на благоприятный исход своей затеи. На протяжении миллиардов лет он день за днем упорно пытался осуществить свой замысел, но любая попытка неизменно оканчивалась неудачей. Чем это объясняется: недостаточно удачным выбором схемы или принципиальной неосуществимостью затеи?

Решение. Неудачи связаны с принципиальной неосуществимостью намерений регистратора. Этот замечательный математический факт был открыт математиком Георгом Кантором. Предположим, что регистратору удалось присвоить всем клубам имена обитателей Вселенной с соблюдением всех правил (никакие два клуба не названы именем одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя есть клуб, названный его именем). Назовем обитателя Вселенной неноминабельным, если он не состоит членом клуба, названного в его честь. Все неноминабильные обитатели Вселенной образуют хорошо определенное множество, а мы знаем, что члены каждого множества обитателей Вселенной состоят в своем особом клубе. Следовательно, должен существовать клуб неноминабельных обитателей Вселенной, что невозможно по причинам, изложенным в задаче 260 (этот клуб должен быть назван в честь одного из обитателей Вселенной, который не может быть ни номинабельным, ни неноминабельным, так как и то и другое приводит к противоречию).

263. Задача об учтенных множествах.

Перед вами та же задача в новом одеянии. Некоторые из вводимых здесь понятий понадобятся нам в следующей главе.

У одного математика хранится «Книга множеств». На каждой ее странице дается описание какого-нибудь множества чисел (под множеством чисел мы понимаем подмножество множества целых положительных чисел 1, 2, 3…, n…). Любое множество, описанное на какой-нибудь странице книги, называется учтенным множеством. Страницы книги перенумерованы по порядку целыми положительными числами. Назовите множество, описания которого нет ни на одной странице «Книги множеств».

Решение. Пусть n — любое целое положительное число. Назовем n экстраординарным числом, если n принадлежит множеству, описанному на n-й странице, и ординарным, если не принадлежит множеству, описанному на n-й странице.

Множество ординарных чисел не может быть описано ни на одной странице «Книги множеств». Действительно, если бы оно было перечислено на k-й странице, то число k не могло бы быть ни экстраординарным, ни ординарным, так как и в том и в другом случае мы пришли бы к противоречию.

XVI. Открытие Гёделя

А. Гёделевы острова

Задачи этого раздела представляют собой адаптированные варианты знаменитого принципа, открытого Куртом Гёделем, работу которого по математической логике мы рассмотрим в конце главы.

264. Остров G.

Население острова G составляют лишь рыцари, всегда говорящие только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Кроме того, некоторых рыцарей называют «признанными рыцарями» (они проявили себя чем-то, подтвердив свое рыцарское звание), а некоторых лжецов (подтвердивших свою приверженность ко лжи) — «отъявленными лжецами».

Обитатели острова G состоят членами различных клубов. Каждый островитянин может быть членом нескольких клубов. Любой островитянин X утверждает относительно любого клуба C, что он либо состоит членом клуба C, либо не состоит членом клуба C.

Известно, что выполняются следующие четыре условия:

E1: Все признанные рыцари состоят членами одного клуба.
E2: Все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба.
C (условие дополнительности; C — от лат. complementum — дополнение). Все островитяне, не состоящие членами любого клуба C, состоят в одном клубе. (Этот клуб называется дополнением клуба C и обозначается ~C.)
G (условие гёделевости). Для любого клуба C существует по крайней мере один островитянин, который утверждает, что состоит членом клуба C. (Разумеется, его утверждение о членстве в клубе C может быть ложным, так как островитянин может оказаться лжецом.)

264 а (по Гёделю).

1) Докажите, что на острове G существует по крайней мере один непризнанный рыцарь.

2) Докажите, что на острове существует по крайней мере один неотъявленный лжец.

264 б (по Тарскому).

1) Состоят ли все лжецы острова членами одного клуба?

2) Состоят ли все рыцари острова членами одного клуба?

Решение задачи 264 а.

По условию E1 все признанные рыцари острова (образующие множество E) состоят членами одного клуба. Следовательно, по условию C все островитяне, входящие в множество E непризнанных рыцарей, также состоят членами одного клуба. Но тогда по условию G существует по крайней мере один островитянин, который утверждает, что состоит членом клуба E (иначе говоря, он утверждает, что принадлежит к множеству непризнанных рыцарей). Лжец не мог бы утверждать, что он не признанный рыцарь (поскольку утверждение о том, что лжец — не признанный рыцарь, истинно). Следовательно, островитянин, высказавший это утверждение, должен быть рыцарем. Поскольку он рыцарь, то высказываемые им утверждения истинны, поэтому он не признанный рыцарь. Значит, островитянин, высказавший это утверждение — рыцарь, но не признанный рыцарь.

По условию E2 все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба. Следовательно (по условию G), существует по крайней мере один островитянин, утверждающий, что он отъявленный лжец (он утверждает, что состоит членом клуба отъявленных лжецов). Этот островитянин не может быть рыцарем (так как рыцарь не мог бы утверждать, что он лжец). Значит, он лжец. Следовательно, его утверждение ложно, поэтому он не отъявленный лжец. Значит, он лжец, но не отъявленный лжец.

Решение задачи 264 б. Если бы все лжецы состояли членами одного клуба, то по крайней мере один островитянин утверждал бы, что он лжец. Но ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать такое утверждение. Следовательно, все лжецы не состоят в одном клубе. Если бы все рыцари состояли членами одного клуба, то (по условию C) все лжецы также состояли бы членами одного клуба, что, как мы доказали, невозможно. Следовательно, все рыцари также не состоят членами одного клуба.

Примечания:

1. Задача 264 б дает еще одно решение задачи 264 а. Хотя оно и неконструктивно, но тем не менее несколько проще предыдущего. Если бы каждый рыцарь был признанным, то множество всех рыцарей совпадало бы с множеством признанных рыцарей, что невозможно, так как (по условию E1) все признанные рыцари состоят в одном клубе, а все рыцари (как показано в решении задачи 264 6) не состоят в одном клубе. Таким образом, предположение о том, что все рыцари признанные, приводит к противоречию. Следовательно, должен существовать по крайней мере один непризнанный рыцарь. Аналогично если бы. все лжецы были отъявленными, то множество отъявленных лжецов совпадало бы с множеством всех лжецов, что невозможно, так как все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба, в то время как все лжецы не состоят членами одного клуба. В отличие от только что приведенного доказательства наше первое доказательство позволяет установить дополнительные подробности: всякий; кто утверждает, что он непризнанный рыцарь, должен быть непризнанным рыцарем, а всякий, кто утверждает, что он отъявленный лжец, должен быть неотъявленным лжецом.

2. Доказывая, что все лжецы не состоят членами одного клуба, мы использовали только условие G. Условия E1, E2 и C нам не понадобились. Значит, из одного лишь условия G следует, что все лжецы не состоят членами одного клуба. Более того, условие G эквивалентно утверждению, что все лжецы не состоят членами одного клуба. Действительно, будем считать известным, что все лжецы не состоят членами одного клуба. Тогда условие G можно вывести следующим образом:

Выберем любой клуб C. Так как все лжецы не состоят членами одного клуба, то C не множество всех лжецов. Следовательно, либо членом клуба C состоит какой-нибудь рыцарь, либо какой-нибудь лжец не состоит членом клуба C. Если какой-нибудь рыцарь состоит членом клуба C, то он заведомо утверждает, что состоит членом этого клуба (так как он всегда говорит только правду). Если бы какой-нибудь лжец не состоял членом клуба C, то он утверждал бы, что состоит членом этого клуба (так как он лжет). Следовательно, и в том и в другом случае кто-нибудь утверждает, что состоит членом клуба C.

265. Гёделевы острова в общем и целом.

Рассмотрим теперь любой остров, населенный рыцарями и лжецами, на котором имеются клубы. Предполагается, что, кроме рыцарей и лжецов, на острове нет других обитателей. Назовем остров гёделевым, если выполняется условие G, то есть если для любого клуба C найдется по крайней мере один островитянин, утверждающий, что состоит членом этого клуба.

Как-то раз инспектор Крэг посетил такой остров, населенный рыцарями и лжецами, состоящими членами клубов. Крэгу (человеку с необычайно широким кругом интересов, теоретические познания которого не уступают его практической сметке) захотелось узнать, находится ли он на гёделевом острове. Ему удалось собрать следующие сведения. Каждый клуб носит имя одного из островитян, и у каждого островитянина есть клуб, названный его именем. Островитянин не обязательно состоит членом клуба, носящего его имя. Островитянина, который состоит членом клуба, названного в его честь, называют номинабельным. Островитянина, который не состоит членом клуба, названного его именем, называют неноминабельным. Об островитянине X говорят, что он друг островитянина Y, если X подтверждает номинабельность островитянина Y.

Крэг не знал, находится ли он на гёделевом острове до тех пор, пока не обнаружил, что культурная жизнь на острове удовлетворяет некоторому условию, которое мы назовем условием H.

H: Для любого клуба C существует другой клуб D, такой, что у каждого члена клуба D по крайней мере один друг состоит членом клуба C, а у каждого не члена клуба D по крайней мере один друг не состоит членом клуба C.

Из условия H Крэг вывел заключение относительно того, гёделев ли тот остров, на котором он находился. К какому заключению пришел инспектор Крэг?

Решение. Остров гёделев. Выберем любой клуб C. Пусть D — клуб, заданный условием H. Клуб D носит имя какого-нибудь островитянина, например островитянина по имени Джон. Сам Джон либо состоит, либо не состоит членом клуба D. Предположим, что Джон состоит членом клуба D. Тогда у него есть друг (назовем его Джек) в клубе C, который подтверждает, что Джон номинабелен. Поскольку Джон состоит членом клуба D, то Джон действительно номинабелен. Значит, Джек рыцарь. Следовательно, Джек рыцарь и состоит членом клуба C, поэтому Джек утверждает, что состоит членом клуба C.

Предположим, что Джон не состоит членом клуба D. Тогда у Джона есть друг (назовем его Джим), не состоящий членом клуба C и подтверждающий, что Джон номинабелен. Поскольку Джон не состоит членом клуба D, то Джон в действительности неноминабелен. Значит, Джим лжец. Итак, Джим лжец и не состоит членом клуба C, поэтому Джим солгал бы и утверждал бы, что состоит членом клуба C.

Следовательно, независимо от того, состоит или не состоит Джон членом клуба D, существует островитянин, утверждающий, что он состоит членом клуба C.

Примечание. Объединяя решения задач 264 и 265, можно утверждать, что на любом острове, удовлетворяющем условиям E1, E2, C и H, заведомо найдется непризнанный рыцарь и неотъявленный лжец. Этот результат в действительности представляет собой «замаскированную» форму знаменитой теоремы Гёделя о неполноте, к которой мы еще вернемся в разделе В этой главы.

Если вы хотите предложить одному из ваших друзей действительно трудную задачу, задайте ему задачу 264 для острова, удовлетворяющего условиям E1, E2, C и H, (об условии G пока умолчите). Выведет ли ваш приятель самостоятельно условие G?

Б. Дважды гёделевы острова

Задачи этого раздела представляют более специальный интерес, и ознакомление с ними можно отложить до прочтения раздела B.

Под дважды гёделевыми островами мы будем понимать острова рыцарей и лжецов, объединенные в клубы, удовлетворяющие условию CG.

CG: для любых двух клубов C1, C2 найдутся островитяне A, B, о которых известно следующее: A утверждает, что B состоит членом клуба C1, а B утверждает, что A состоит членом клуба C2.

Насколько мне известно, из условия CG не следует условие G, а из условия G не следует условие CG. Оба условия выглядят совершенно независимыми, поэтому (насколько мне известно) дважды гёделевы острова не обязательно должны быть гёделевыми островами.

Изучение дважды гёделевых островов — мой «конек».

Задачи, связанные с ними, имеют такое же отношение к парадоксу Журдэна с двусторонней карточкой (см. задачу 254 в предыдущей главе), какое задачи о гёделевых островах имеют к парадоксу лжецов.

266. Дважды гёделев остров S.

Однажды мне посчастливилось открыть дважды гёделев остров S, для которого выполняются условия E1, E2 и C острова G.

а) Можно ли определить, найдется ли на острове S хоть один непризнанный рыцарь? Что можно сказать о неотъявленном лжеце?

б) Можно ли установить, состоят ли рыцари острова S членами одного клуба? A лжецы?

Решение. Начнем со второй части задачи. Если все рыцари острова состоят членами одного клуба, то (по условию C) все лжецы также состоят членами одного клуба, а если все лжецы острова S состоят членами одного клуба, то (в силу того же условия C) рыцари также состоят членами одного клуба. Следовательно, если представители одной из двух групп населения острова (либо рыцари, либо лжецы) состоят членами одного клуба, то представители каждой из двух групп состоят членами одного клуба. Итак, предположим, что все рыцари состоят членами одного клуба и что все лжецы состоят членами одного клуба. Тогда по условию CG должны найтись островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:

A: B — лжец.

B: A — рыцарь.

Как показано в решении задачи 259 в предыдущей главе, это невозможно. Следовательно, все рыцари не могут состоять членами одного клуба, и все лжецы не могут состоять членами одного клуба.

Что касается первой половины задачи, то ее можно решить двумя способами. Первый из них проще того способа, которым мы только что решили вторую часть задачи, зато второй способ более поучительный.

Первый способ. Так как все рыцари не состоят членами одного клуба, а все признанные рыцари состоят членами одного клуба, то множество всех рыцарей не совпадает с множеством всех признанных рыцарей. Следовательно, не все рыцари признанные. Аналогично не все лжецы отъявленные.

Второй способ. Так как все признанные рыцари состоят членами одного клуба, то все островитяне, не принадлежащие к числу признанных рыцарей, также состоят членами одного; клуба. Если эти клубы выбрать в качестве клубов C1, C2, то (по условию CG) найдутся островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:

A: B — признанный рыцарь.

B: A — не признанный рыцарь.

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что по крайней мере один из островитян A, B должен быть признанным рыцарем (точнее говоря, требуется доказать, что если A — рыцарь, то он не признанный рыцарь, а если A — лжец, то B должен быть не признанным рыцарем. Установить, кто из островитян A, B не признанный рыцарь, мы не можем, хотя и знаем, что кто-то из них не признанный рыцарь.[11]

Аналогичным образом, так как все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба, то все островитяне, не принадлежащие множеству отъявленных лжецов, также состоят членами одного клуба. Следовательно (по условию CG), непременно найдутся островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:

A: B — отъявленный лжец,

B: A — не отъявленный лжец.

Отсюда мы заключаем, что если B — лжец, то он не отъявленный лжец, а если B — рыцарь, то A — не отъявленный лжец (доказательство этого утверждения мы также предоставляем читателю). Итак, в любом случае либо A, либо B — не отъявленный лжец, но мы не знаем, кто именно. (По существу эта задача ничем не отличается от задачи 135 о двух шкатулках, изготовленных Беллини и Челлини.)

267. Остров S1.

Однажды мне удалось открыть еще один дважды гёделев остров S1, который показался мне еще более интересным, чем остров S. Для острова S1 выполнены оба условия E1, E2, но не известно, выполняется ли условие C. (Напомним, что, согласно этому условию, все островитяне, не состоящие членами клуба C, состоят членами одного клуба.) По-видимому, невозможно доказать, что на острове S1 непременно есть не признанный рыцарь или что на том же острове есть не отъявленный лжец. Невозможно, по-видимому, доказать также, что все рыцари не состоят членами одного клуба или что все лжецы не состоят членами одного клуба. Но следующие утверждения доказать можно:

а) На острове S1 найдется либо не признанный рыцарь, либо не отъявленный лжец.

б) Не может быть, чтобы все рыцари состояли членами одного клуба и все лжецы состояли членами одного клуба.

Решение. Докажем сначала утверждение (б). Предположим, что все рыцари состоят членами одного клуба и все лжецы состоят членами одного клуба. Тогда найдутся островитяне A, B, о которых известно следующее: A утверждает, что B — лжец, а B утверждает, что A — рыцарь. Но это, как мы уже знаем, невозможно (см. предыдущую задачу или задачу 259 в предыдущей главе). Итак, невозможно, чтобы все рыцари состояли членами одного клуба и все лжецы также состояли членами одного клуба. Значит, либо все рыцари не состоят членами одного клуба, либо все лжецы не состоят членами одного клуба. Если все рыцари не состоят членами одного клуба, то непременно найдется по крайней мере один не признанный рыцарь (поскольку все признанные рыцари состоят членами одного клуба). Если все лжецы не состоят членами одного клуба, то непременно найдется по крайней мере один не отъявленный лжец. Но какой именно случай представится на острове, мы не знаем. Итак, утверждение (а) доказано.

Альтернативное (и более интересное) доказательство того, что непременно найдется не признанный рыцарь или не отъявленный лжец, состоит в следующем. Так как признанные рыцари состоят в одном клубе и отъявленные лжецы состоят в одном клубе, то найдутся островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:

A: B — отъявленный лжец.

B: A — признанный рыцарь.

Предположим, что A — рыцарь. Тогда его утверждение истинно. Значит, B — отъявленный лжец, поэтому его утверждение ложно. Следовательно, A — не признанный рыцарь. Значит, A — не признанный рыцарь. Если же A — лжец, то высказанное B утверждение ложно, поэтому B — лжец. Высказанное A утверждение также ложно, поэтому B — не отъявленный лжец. Следовательно, B — не отъявленный лжец.

Итак, либо A — не признанный рыцарь, либо B — не отъявленный лжец (но мы опять не знаем, какая из двух альтернатив истинна).

Эта задача очень напоминает одну из задач о парах шкатулок (задачу 136 из гл. 9), в которой одна из двух шкатулок (какая именно — неизвестно) изготовлена либо Беллини, либо Челлини (но кем именно — опять-таки неизвестно).

268. Несколько нерешенных задач.

Я придумал несколько задач о гёделевых и дважды гёделевых островах, но решить их так и не собрался. Думаю, что читателю будет приятно испробовать свои силы на работе, сулящей неожиданности и, быть может, даже открытия.

268 а.

Я уже говорил о том, что, насколько мне известно, ни одно из условий G, CG не следует из другого. Удастся ли вам доказать (или опровергнуть, что я считаю маловероятным) мою гипотезу? Для этого вам необходимо «построить» остров, для которого выполняется условие G, но не выполняется условие CG, а также остров, для которого выполняется условие CG, но не выполняется условие G. Построить остров означает в данном случае указать, кем он населен, кто из его обитателей рыцари и кто лжецы, какие обитатели состоят и какие не состоят членами одного клуба. (Кто из рыцарей обладает правом называться признанным рыцарем и кого из лжецов следует называть отъявленными лжецами, для решения этой задачи значения не имеет.)

268 б.

Можете ли вы доказать (или опровергнуть) мою гипотезу о том, что на острове S1 не обязательно должны быть не признанные рыцари и не отъявленные лжецы (хотя непременно должны быть рыцари и лжецы)? Иначе говоря, можете ли вы построить остров, удовлетворяющий условиям E1, E2 и CG, на котором есть рыцари, но нет не признанных рыцарей? Можете ли вы построить остров, на котором есть лжецы, но нет не отъявленных лжецов? (На этот раз при построении островов необходимо указать не только, кто из его обитателей называется рыцарем или лжецом и состоит в том или ином клубе, но и указать, каких рыцарей следует считать признанными и каких лжецов — отъявленными.)

268 в.

Предположим, что все острова, о которых говорится в предыдущих задачах, допускают построение (интуитивно я убежден в том, что построить эти острова можно, хотя и не могу этого доказать). Какова минимальная численность населения каждого острова? Можете ли вы доказать, что при меньшей численности населения какое-то из условий будет нарушено?

В. Теорема Гёделя

269. Полна ли эта система?

У одного логика хранится «Книга высказываний». Страницы книги перенумерованы последовательными натуральными числами, и на каждой странице записано ровно одно высказывание. Ни одно высказывание не занимает более одной страницы. Номер страницы, на которой записано высказывание X, назовем номером высказывания X. Разумеется, каждое высказывание, внесенное в «Книгу высказываний», либо истинно, либо ложно. Некоторые из истинных высказываний настолько очевидны логику, у которого хранится книга, что он принял их за аксиомы своей логической системы. Помимо аксиом в эту систему входят правила вывода, позволяющие доказывать истинные высказывания, сводя их к ранее доказанным истинным высказываниям и аксиомам, и опровергать ложные высказывания. Логик совершенно уверен в своей непротиворечивости (то есть в том, что всякое высказывание, доказуемое в его системе, действительно истинно, а каждое высказывание, опровергаемое в его системе, действительно ложно), но сомневается в ее полноте (то есть в том, что в системе все истинные высказывания доказуемы, а все ложные опровержимы). Все ли истинные высказывания доказуемы в его системе? Все ли ложные высказывания опровержимы в его системе? На эти вопросы логик хотел бы получить ответ.

У нашего логика помимо «Книги высказываний» есть еще «Книга множеств». Ее страницы также перенумерованы последовательными натуральными числами, и на каждой странице приведено описание некоторого множества чисел. (Под числами мы понимаем здесь целые положительные, или натуральные, числа 1, 2,…, n,…) Любое множество, внесенное в «Книгу множеств», мы будем называть учтенным множеством. Если задано натуральное число n то может случиться, что множество, записанное на n-й странице «Книги множеств», содержит число n. В этом случае мы будем называть n экстраординарным числом.

Кроме того, назовем число h сопряженным с числом n, если в высказывании, записанном на n-й (Не уверен, но, IMHO, тут должно стоять …на h-й — SStas) странице «Книги высказываний», утверждается, что n — экстраординарное число.

Известно, что выполняются следующие четыре условия:

E1: Множество номеров всех доказуемых высказываний — учтенное множество.
E2: Множество номеров всех опровержимых высказываний — учтенное множество.
C: Для любого учтенного множества A множество ~A, состоящее из всех чисел, которые не принадлежат множеству A, — учтенное множество.
H: Для любого учтенного множества A существует другое учтенное множество B, такое, что каждое число из B имеет сопряженное, принадлежащее A, и каждое число, не принадлежащее B, имеет сопряженное, не принадлежащее A.

Этих четырех условий достаточно, чтобы ответить на вопросы логика: «Каждое ли истинное высказывание доказуемо в его системе? Каждое ли ложное высказывание опровержимо в его системе?» Кроме того, можно определить, является ли множество номеров всех истинных высказываний учтенным множеством, а также является ли учтенным множеством множество номеров всех ложных высказываний. Как это сделать?

Решение. Перед вами не что иное, как гёделев остров из раздела А, но в ином «одеянии». Номера истинных высказываний играют роль рыцарей, номерам ложных высказываний отведена роль лжецов, доказуемые высказывания соответствуют признанным рыцарям, опровержимые — отъявленным лжецам. Учтенные роли заменяют собой клубы. Понятие множества, записанного на странице с заданным номером, играет роль клуба, названного по имени одного из обитателей острова. Экстраординарные числа — это не что иное, как номинабельные члены общины, а сопряженные числа являются аналогами друзей.

Чтобы решить задачу, прежде всего необходимо доказать аналог условия G.

Условие G. Для любого учтенного множества A найдется высказывание, истинное в том и только в том случае, если его номер принадлежит A.

Чтобы доказать условие G, выберем любое учтенное множество A. Пусть B — множество, заданное условием H, n — номер страницы, на котором записано B в «Книге множеств». По условию H если число n принадлежит B, то у него имеется сопряженное число h, принадлежащее множеству A, а если n не принадлежит B то у него есть сопряженное число h, не принадлежащее A. Мы утверждаем, что высказывание X на h-й странице и есть то самое высказывание, которое требуется найти.

Высказывание X утверждает, что n — экстраординарное число, то есть что n принадлежит множеству B (так как множество B занесено на n-ю страницу «Книги множеств»). Если X истинно, то число n действительно принадлежит множеству B. Следовательно, h принадлежит A. Итак, если X истинно, то его номер (число h) принадлежит множеству A.

Предположим теперь, что X ложно. Тогда число n не принадлежит B. Следовательно, сопряженное число h не принадлежит A. Итак, X истинно в том и только в том случае, если его номер принадлежит множеству A.

После того как условие G доказано, ответить на вопросы логика уже не трудно. Дано, что множество номеров A всех доказуемых высказываний — учтенное множество. Следовательно, по условию C множество ~A всех чисел, не совпадающих с номерами доказуемых высказываний, также учтенное множество. Значит (по условию G), существует высказывание X, которое истинно в том и только в том случае, если его номер принадлежит множеству ~A. Но если номер высказывания X принадлежит множеству ~A, то он не принадлежит множеству A, то есть высказывание X недоказуемо (так как множество A состоит из номеров доказуемых высказываний). Итак, X истинно в том и только в том случае, если X недоказуемо. Это означает, что либо X истинно и недоказуемо, либо X ложно и доказуемо. По условиям задачи ни одно ложное высказывание недоказуемо в системе. Следовательно, X должно быть истинным и недоказуемым в системе.

Построим теперь ложное высказывание, которое неопровержимо в системе. Пусть A — множество всех опровержимых высказываний. Воспользовавшись условием G, мы получим высказывание Y, истинное в том и только в том случае, если его номер совпадает с номером какого-нибудь опровержимого высказывания, то есть Y истинно в том и только в том случае, если Y опровержимо. Это означает, что Y либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Первая альтернатива отпадает, так как опровержимое высказывание не может быть истинным. Следовательно, Y должно быть ложным, но неопровержимым в системе.

Перейдем теперь к остальным вопросам логики. Если бы множество номеров всех ложных высказываний было учтенным множеством, то существовало бы высказывание Z, которое было бы истинным в том и только в том случае, если бы его номер совпадал с номером какого-нибудь ложного высказывания. Иначе говоря, Z было бы истинным в том и только в том случае, если Z ложно, что невозможно. (Z напоминало бы высказывание «это высказывание ложно».) Следовательно, множество номеров всех ложных высказываний — неучтенное множество. Из условия C следует, что множество номеров истинных высказываний также не является учтенным множеством.

270. Теорема Гёделя.

Предыдущая задача представляет собой не что иное, как упрощенный вариант знаменитой теоремы Гёделя о полноте.

В 1931 г. Курт Гёдель совершил поразительное открытие. Он установил, что математическую истину в некотором смысле нельзя формализовать полностью. Гёдель доказал, что в математической системе, принадлежащей широкому классу систем, всегда найдется утверждение, недоказуемое (то есть невыводимое из аксиом системы), несмотря на свою истинность! Следовательно, ни одной аксиоматической системы, сколь бы остроумно она ни была устроена, не достаточно для доказательства всех математических истин. Гёдель впервые доказал свою теорему для системы «Principia Mathematica» Уайтхеда и Расселла, но предложенное им доказательство, как я уже говорил, допускает перенос и на многие другие системы. Во всех этих системах существует вполне определенное множество выражений, называемых предложениями, которые подразделяются на истинные и ложные. Некоторые истинные предложения приняты за аксиомы системы. Точный перечень правил вывода позволяет доказывать (выводить из аксиом) одни предложения и опровергать другие. Помимо предложений система содержит имена различных множеств (целых и положительных) чисел. Любое множества чисел, наделенное в рассматриваемой системе именем, можно назвать именуемым, или определимым, множеством системы (в предыдущей задаче такие множества скрывались под псевдонимом «учтенные множества»). Весьма существенно, что все предложения можно перенумеровать, а все определимые множества перечислить по порядку. Это означает, что математическая система удовлетворяет условиям E1, E2, C и H нашей задачи. (Номер, присваиваемый каждому предложению, — в задаче мы называли его просто номером — в математической логике известен подназванием гёделевого номера предложения.) Доказать, что система удовлетворяет условиям C и H, очень просто. Доказательство того, что система удовлетворяет условиям E1 и E2, в принципе несложно[12], но довольно громоздко. Коль скоро доказано, что система удовлетворяет всем четырем условиям, они позволяют построить предложение, которое истинно, но недоказуемо (невыводимо) в данной системе.

Это предложение можно представлять себе как некоторое предложение X, содержащее утверждение о своей недоказуемости. Такое предложение действительно должно быть истинно, но недоказуемо (подобно тому как житель острова G, утверждавший, что он непризнанный рыцарь, действительно был рыцарем, но не был признанным рыцарем). Возможно, вы спросите: но если известно, что предложение X (содержащее утверждение о своей недоказуемости) истинно, то почему бы не принять его за новую аксиому? Разумеется, мы можем пополнить список аксиом системы еще одной аксиомой, но расширенная система также будет удовлетворять условиям E1, E2, C и H. Следовательно, в ней найдется другое предложение X1, которое будет истинным, но недоказуемым в расширенной системе. Таким образом, хотя расширенная система позволяет доказать больше истинных предложений, чем старая, тем не менее и в ней доказать все истинные предложения невозможно.

Должен сказать, что мое изложение метода Гёделя отличается от первоначального доказательства теоремы, предложенного самим Гёделем. Основное отличие состоит в том, что я использую понятие истинности, отсутствующее у Гёделя. Действительно, в первоначальном виде теорема Гёделя не содержит утверждения о существовании в системе истинного, но недоказуемого (невыводимого) предложения. В ней говорится нечто иное: при некотором правдоподобном допущении относительно системы в ней непременно существует предложение (и Гёдель демонстрирует такое предложение), которое в рамках системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Понятие истинности было строго формализовано логиком Альфредом Тарским. Он доказал, что для математических систем, удовлетворяющих условиям теоремы Гёделя, множество гёделевых номеров истинных предложений неопределимо в системе. Иногда этот результат формулируют так: «Во всякой достаточно мощной системе истинность предложений системы неопределима в рамках самой системы».

271. Последнее слово.

Рассмотрим следующий парадокс:

Это предложение недоказуемо.

Парадокс состоит в следующем. Если это предложение ложно, то не верно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо, а это означает, что оно истинно. Итак, предположив, что это предложение ложно, мы пришли к противоречию. Значит, оно должно быть истинно. А теперь будьте внимательны! Я доказал, что предложение, набранное курсивом, истинно. Но в истинном предложении говорится о том, что есть на самом деле. Значит, оно недоказуемо. Как же мне удалось доказать его? Где ошибка в приведенных мною рассуждениях?

Ошибка в том, что понятие доказуемого предложения не вполне определенно. Одна из основных задач важного раздела современной математики, известного под названием «математической логики», состоит в придании точного значения понятию доказательства. Вполне строгого универсального определения доказательства, применимого к любым математическим системам, пока не существует. В современной математической логике принято говорить о доказуемости в рамках данной системы. Предположим, что у нас имеется система (назовем ее системой S), в которой строго определено, что такое доказуемость в рамках системы S. Предположим также, что система S непротиворечива, то есть что всякое доказуемое в S предложение действительно истинно. Рассмотрим следующее предложение:

Это предложение недоказуемо в системе S.

Никакого парадокса теперь не возникает, хотя это предложение обладает одним довольно интересным свойством. Дело в том, что оно должно быть истинным, но недоказуемым в системе S. Оно представляет собой грубый аналог предложения X (содержащего утверждение о собственной недоказуемости не вообще, а в рамках системы S), построенного Гёделем в первоначальном варианте доказательства его знаменитой теоремы.

Несколько слов я хотел бы сказать о «дважды гёделевом» условии, которое мы анализировали в разделе Б. Дело в том, что полученный Гёделем результат справедлив не только для гёделевых систем (гёделевой я называю систему, в которой для любого определимого множества A найдется предложение, истинное в том и только в том случае, если его гёделев номер принадлежит A), но и для дважды гёделевых систем (дважды гёдёлевой я называю систему, в которой для любых определимых множеств A, B найдутся предложения X, Y, такие, что X истинно в том и только в том случае, если гёделев номер предложения Y принадлежит A, а Y истинно в том и только в том случае, если гёделев номер предложения X принадлежит B). Располагая дважды гёделевой системой, мы можем (используя условия E1, E2 и C построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение о доказуемости предложения Y (при этом я понимаю, что X истинно в том и только в том случае, если Y доказуемо), а Y будет содержать утверждение о недоказуемости предложения X. Одно из предложений (какое именно — не известно) X и Y должно быть истинно, но недоказуемо. Можно поступить иначе и построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение об опровержимости предложения Y, а Y будет содержать утверждение о неопровержимости предложения X. По крайней мере одно из предложений X, Y (какое именно — не известно) должно быть ложно, но неопровержимо. Возможен я еще один вариант. Не используя даже условие C, можно построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение о доказуемости Y, а Y — о неопровержимости X. Одно из них (какое именно — не известно) должно быть либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо (но каким именно набором из этих двух будет обладать предложение — не известно).

И последнее, о чем я хочу сказать вам, пока не забыл. Как же называется эта книга? Эта книга так и называется — «Как же называется эта книга?»

Примечания:

Напомним, что рыцари — особы высшего ранга, нормальные люди — среднего, лжецы — низшего.

См. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971, с. 286.

См. Гарднер М. Математические новеллы. — М.: Мир, 1974, с. 170.

Мне сообщил его философ Ричард Картрайт.

Видимо, в задаче пропущено условие о том, что номинабельные не могут входить в клуб неноминабельных.

Опять-таки пропущено условие о том, что в клуб подозрительных не могут входить неподозрительные.

С точно такой же ситуацией мы уже сталкивались в задаче 134 (о паре шкатулок, изготовленных Беллини и Челлини): одна из шкатулок заведомо должна быть работы Беллини, но установить, какую из двух шкатулок изготовил Беллини, невозможно.

Напомним условие H: Для любого числа n существует высказывание, утверждающее, что n — экстраординарное число. Это высказывание (как и всякое другое предложение) имеет гёделев номер. Обозначим его n*. Оказывается, что для любого определимого множества A множество B всех чисел n, для которых n* принадлежит A, также определимо. Поскольку геделев номер n* сопряжен с числом n, то тем самым условие H выполнено.

Оглавление

Главная | Контакты | Нашёл ошибку | Прислать материал | Добавить в избранное

Все материалы представлены для ознакомления и принадлежат их авторам.